天水市一中2008-2009學年度第二學期2006級
理科數學試題
本試卷分為第I卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共10頁，試卷滿分300分．
做題時間為150分鐘。考試結束后，將試卷和答題卡一并交回。
注意事項：
1．答題前，考生必須將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。
2．選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。
3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。
4．保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、不準使用涂改液、刮紙刀。
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面積公式
P(A+B)=P(A)+P(B) S= 4πR2
如果事件A、B相互獨立，那么 其中R表示球的半徑
P(A?B)=P(A)?P(B) 球的體積公式
如果事件A在一次試驗中發生的概率是P， 
那么n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率 其中R表示球的半徑
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．設
，且
為正實數，則
（ ）
A．
B．
C．
D．
2. 函數y＝8sin4xcos4x的最小正周期是（ ）
A.2π B.4π C. D.
3．若拋物線y2=x上一點P到準線的距離等于它到頂點的距離，則點P的坐標為 ( )
A.
B. 
C. 
D. 
4．函數
的圖像可以通過以下哪種變換得到函數
的圖像（ ）
A．向右平移
個單位 B．向左平移個單位
C．向右平移
個單位 D．向左平移個單位
5．已知集合
、
則集合
所表示的平面圖形的面積
（ ）
A．
B． C． D．
6. 已知
是兩條不同直線，
是三個不同平面，下列命題中正確的是
A．
B．
C．
D．
7．在平面直角坐標系中，A為平面內一個動點，B（2，0）。若
（O為坐標原點），則動點A的軌跡是（ ）
A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓
8．半徑為2的球面上有A，B，C，D四點，且AB，AC，AD兩兩垂直，則三個三角形面積之和
的最大值為（ ）
A．4 B．
9．某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區服務，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數為( )
A.14 B
10．已知函數
，等比數列
的首項
，公比
，若，
，則
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．橢圓
的左、右焦點分別為
、
，
是橢圓上一點，
為左準線，
，垂足為
，若四邊形
為平行四邊形，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A．
B．
) C．
) D．
12．函數
的定義域為D，若對于任意x1，x2∈D，當x1＜x2時，都有
≤
，
則稱函數在D上為非減函數．設函數在[0，1]上為非減函數，且滿足以下三個條件：①
； ②
③
則
等于 （ ）
A．
B．
C．1 D．
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題（本大題共4小題，每小題５分，共２0分．把答案填在題中橫線上）
13．若
，
，
，…，
的方差為3，則
，
，…，
，
的方差為
．
14．若
則在展開式各項系數中最大值等于
。
15．已知等差數列
的前n項和為Sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26，記Tn＝
，如果存在正整數M，使得對一切正整數n，Tn≤M都成立．則M的最小值是_______．
16．給出下列命題：
①函數
不是周期函數；
②函數
在定義域內為增函數；
③函數
的最小正周期為；
④函數
的一個對稱中心為
其中正確命題的序號為___________。
三、解答題（本大題共6個小題，共70分，解答應寫出必要的解題過程）
17．（本小題共10分）
設函數
（I）求函數
的周期；
（II）設函數的定義域為
，若
，求函數的值域。
18．（本小題共12分）
3名志愿者在5月1號至5月5號期間參加社區服務工作.
（I）若每名志愿者在5天中任選一天參加社區服務工作，且各志愿者的選擇互不影響，求3名志原者恰好連續3天參加社區服務工作的概率；
（II）若每名志愿者在這5天中任選兩天參加社區服務工作，且各志愿者的選擇互不影響，記ξ表示這3名志愿者在5月1號參加社區服務工作的人數，求隨機變量ξ的分布列.
19．（本小題共12分）
如圖，四棱錐P―ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，且AB//CD，∠BAD=90°，PA=AD=DC=2，AB=4.
（I）求證：BC⊥PC；
（II）求PB與平面PAC所成角的正弦值；
（III）求點A到平面PBC的距離
20．（本小題共12分）
已知是各項都為正數的數列，
為其前
項的和，且
（I）分別求
，
的值；
（II）求數列的通項
；
（III）求證：
21．（本小題共12分）
已知
設的反函數為
．
（I）求
的單調區間；
（II）若對任意
，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍．
22．（本小題共12分）
已知橢圓
的左、右焦點分別為F1、F2，短軸兩個端點為A、B，且四邊形F1AF2B是邊長為2的正方形.
（I）求橢圓的方程；
（II）若C、D分別是橢圓長軸的左、右端點，動點M滿足MD⊥CD，連結CM，交橢圓于點P，證明：
為定值；
（III）在（II）的條件下，試問x軸上是否存在異于點C的定點Q，使得以MP為直徑的圓恒過直線DP，MQ的交點，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由.
一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，滿分60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．B 2．C 3．B 4．D 5．C 6．D 7．D 8．B 9．A 10．B 11．A 12．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分
13．27 14．20 15．2 16．①④
三、解答題（解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17．（本小題共10分）
解：（I）
故函數
的周期為
………………………………………….5分
（II）
又
函數
的值域為
………………….10分
18．（本小題共12分）
解：（1）3名志愿者每人任選一天參加社區服務，共有53種不同的結果，這些結果出現的可能性都相等. ………………1分
設“3名志愿者恰好連續3天參加社區服務工作”為事件A，
則該事件共包括
種不同的結果， ………………3分
所以
………………5分
答：3名志愿者恰好連續3天參加社區服務工作的概率為
………………6分
（II）解法1：隨機變量ξ的可能取值為0，1，2，3 ………………7分
隨機變量ξ的分布列為：
ξ
0
1
2
3
P
……………………12分
解法2：每名志愿者在5月1日參加社區服務的概率均為
……7分
則三名志愿者在5月1日參加社區服務的人數
………………11分
隨機變量ξ的分布列為：
ξ
0
1
2
3
P
………………12分
19．（本小題共12分）
方法1
（I）證明：在直角梯形ABCD中，∵AB//CD，∠BAD=90°，AD=DC=2
∴∠ADC=90°，且
………………1分
取AB的中點E，連結CE.
由題意可知，四邊形AECD為正方形，所以AE=CE=2，
又
則△ABC為等腰直角三角形，
所以AC⊥BC， 又因為PA⊥平面ABCD，則AC為PC在平面ABCD內的射影，BC
平面ABCD，
由三垂線定理得，BC⊥PC ……………………4分
（II）由（I）可知，BC⊥PC，BC⊥AC，PC∩AC=C.
所以BC⊥平面PAC， ……………………4分
PC是PB在平面APC內的射影，所以∠CPB是PB與平面PAC所成的角. ……5分
又
， ………………6分
………………7分
………………8分
（III）由（II）可知，BC⊥平面PAC，BC平面PEC，
所以平面PBC⊥平面PAC，
過A點在平面PAC內作AF⊥PC于E，所以AF⊥平面PBC，
則AF的長即為點A到平面PBC的距離. ………………9分
在直角三角形PAC中，PA=2，AC=
， ………………10分
………………11分
所以
………………12分
方法2：
∵AP⊥平面ABCD，∠BAD=90°
∴以A為原點，AD、AB、AP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系
∵PA=AD=DC=2，AB=4.
………………2分
（I）
………………3分
………………4分
（II）
設
………………6分
即PB與平面PAC所成角的正弦值為
………………8分
（III）由
設
………………10分
=
∴點A到平面PBC的距離為
………………12分
20．（本小題共12分）
解：（I）令
，得
（舍去負的），
同理，令
可得
................................................4分
（II）
…………………8分
（Ⅲ）令
………………..12分
21．（本小題共12分）
解：（I）由
當
時，
當
時，
，
的單調遞增區間是（-1，0），單調遞減區間是（0，
）….6分
（II）設
則
當
時，
在
上是減函數；
當
時，
在
上是增函數。
………………………………………………………..12分
22．（本小題共12分）
解：（I）如圖，由題意得，
∴所求的橢圓方程為
………………3分
（II）由（I）知，
………………4分
（III）設
若以MP為直徑的圓恒過DP，MQ的交點，
則
恒成立. ………………10分
由（II）可知
………………10分
∴存在Q（0，0），使得以MP為直徑的圓恒過直線DP，MQ的交點. …………12分
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