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1. 設n是給定的正整數(shù)，T是一個集合，其元素是平面上滿足x,y是非負整數(shù)且x+y<n的點(x,y)。T中的點均被染上紅色或藍色，滿足：如果(x,y)是紅色，則所有滿足x'≤x且y'≤y的點(x',y')也都染成紅色。如果n個藍點的橫坐標各不相同，則稱由這n個藍點組成的集合為一個X-集；如果n個藍點的縱坐標各不相同，則稱這n個藍點所組成的集合為Y-集。

求證：X-集的個數(shù)和Y-集的個數(shù)相同。

2. BC為圓O的直徑，A為⊙O上的一點，0^o<∠AOB <120^o, D是弧AB（不含C的弧）的中點，過O平行于DA的直線交AC 于I，OA的垂直平分線交⊙O于E、F，

求證：I是△CEF的內心。

3. 找出所有的正整數(shù)對m,n≥3，是的存在無窮多個正整數(shù)a，使(a^m +a-1)/(aⁿ +a²-1)為整數(shù)。

4. 設n為大于1的整數(shù)，全部正因數(shù)為d₁,d₂,...,d_k， 其中1=d₁ < d₂ < ... < d_k=n，

記D=d₁d₂+d₂d₃+...+d_k-1d_k。

5. 找出所有從實數(shù)集R到R的函數(shù)f，使得對所有x,y,z∈R，有

(f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)。

6. 設Γ₁，Γ₂，...,Γ_n是平面上半徑為1的圓，其中n≥3，記他們的圓心分別為O₁,O₂,...,O_n。假設任意一條直線都至多和兩個圓相交或相切，

求證：

∑_i<j 1/O_iO_j ≤ (n-1)π/4 。