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1.  圓內(nèi)接四邊形ABCD，現(xiàn)有一圓其圓心在邊AB上并于其他三邊相切，求證AD + BC = AB.

2. 設(shè) k<n 時(shí)互素的兩個(gè)正整數(shù)。將集合M = {1, 2, 3, ... , n-1} 中的每個(gè)數(shù)都染成藍(lán)色或白色，保證 i和n-i的顏色相同，對于不等于k的i其顏色又與|i-k|的顏色相同。求證：M中所有數(shù)的顏色都相同。

3.  P(x) = a₀ + a₁x + ... + a_kx^k 是整系數(shù)多項(xiàng)式，設(shè)其中系數(shù)為奇數(shù)的個(gè)數(shù)為o(P)。對于i = 0, 1, 2, ... ，記 Q_i(x) = (1 + x)ⁱ。求證如果i₁, i₂, ... , i_n都是整數(shù)并滿足0 <= i₁ < i₂ < ... < i_n，則有

o(Q_i1 + Q_i2 + ... + Q_in) >= o(Q_i1).

4.  集合M由 1985個(gè)不同的正整數(shù)組成，且每個(gè)數(shù)都有一個(gè)大于23的素因子，求證M中存在4個(gè)元素的積是某個(gè)整數(shù)的4次方。

5.  圓心為O的一個(gè)圓經(jīng)過三角形ABC的頂點(diǎn)A和C，并與AB,BC分別交于不同的兩點(diǎn)K、N，三角形ABC的外接圓和三角形KBN的外接圓相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)B、M，求證角OMB是直角。

6.  對于任何一個(gè)實(shí)數(shù) x₁，可通過遞推式

x_n+1 = x_n(x_n + 1/n)

 構(gòu)造序列 x₁, x₂, ...，求證存在唯一的一個(gè)x₁ 滿足對所有的n都有 0 < x_n < x_n+1 < 1 成立。