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1. m,n是滿足下述條件的正整數(shù):

m/n = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... - 1/1318 + 1/1319.

求證：m可被1979整除。

2.  一個(gè)棱柱的上底和下底分別是正五邊形A₁A₂A₃A₄A_5、B₁B₂B₃B₄B₅ 。這兩個(gè)正五邊形的每條邊以及每個(gè) A_iB_j邊都被染上紅色或藍(lán)色。又已知每個(gè)邊都被著色的三角形（其頂點(diǎn)即這個(gè)棱柱的頂點(diǎn)）必有兩邊著不同色，求證：上、下底的十條邊都被染上了同一種顏色。

3.  平面上的兩個(gè)圓相交，A是其中一個(gè)交點(diǎn)。現(xiàn)有兩質(zhì)點(diǎn)同時(shí)從A出發(fā)各自以恒定的速度，同以順時(shí)針方向或同以逆時(shí)針方向繞各自的圓移動(dòng)，在繞過一周之后這兩點(diǎn)又同時(shí)回到了A點(diǎn)。求證：在這個(gè)平面上一定存在某個(gè)固定的點(diǎn)P使得在任意時(shí)刻P點(diǎn)都與這兩動(dòng)點(diǎn)的距離相等。

4. 給定一平面k，在這個(gè)平面上有一點(diǎn)P，平面外有一點(diǎn)Q，試找出平面k上的所有的點(diǎn)R使得(QP + PR)/QR 為最大值。

5.  試求出所有的實(shí)數(shù)a，使得存在非負(fù)實(shí)數(shù)x₁, x₂, x₃, x₄, x₅滿足下列關(guān)系式：

x₁ + 2x₂ + 3x₃ + 4x₄ + 5x₅ = a；

x₁ + 2³x₂ + 3³x₃ + 4³x₄ + 5³x₅ = a²；

x₁ + 2⁵x₂ + 3⁵x₃ + 4⁵x₄ + 5⁵x₅ = a³。

6.  令A(yù)、E是一個(gè)正八邊形的兩相對頂點(diǎn)，一只青蛙從A點(diǎn)開始跳動(dòng)，除了E點(diǎn)外，從八邊形中的其他每一個(gè)頂點(diǎn)都可以跳至與它相鄰兩頂點(diǎn)中的任何一個(gè)。當(dāng)它跳到E點(diǎn)時(shí)就停止運(yùn)動(dòng)。設(shè) a_n 為恰好經(jīng)過 n步跳動(dòng)以后到達(dá)E點(diǎn)的所有可能線路的個(gè)數(shù)，求證：

      a_2n-1 = 0
      a_2n = (2 + √2)^n-1/√2 - (2 - √2)^n-1/√2。