江蘇省連云港市2009屆高三數學模擬試題二
數學（必做題）
組卷：陸習曉
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．不需要寫出解答過程，請把答案直接填在答題卡相應位置上．
1.
=_______________
2．以下偽代碼：
Read x
If x≤ 0 Then
← 3x
Else
←8
End If
Print
根據以上算法，可求得
的值為 ____．
3.為了了解高三學生的身體狀況．抽取了部分男生的體重，將所得的數據整理后，畫出了頻率分布直方圖（如圖），已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1┱2┱3，第2小組的頻數為12，則抽取的男生人數是 ．
4．若橢圓
的兩個焦點到一條準線的距離之比為3：2，則橢圓的離心率是______．
5．函數 f ( x ) = 3 sin 2(
)+1， 則使 f ( x + c ) = －f ( x ) 恒成立的最小正數 c 為_______
6．已知函數f(x) = 
在(－4，＋∞)內單調遞減，求實數a的取值范圍是_________．
7. 已知方程
且
有兩個實數根，其中一個根在區間
內，則
的取值范圍為
．
8．正三棱錐P―ABC的高PO=4，斜高為
，經過PO的中點且平行于底面的截面的面積為________.
9．已知經過函數
圖象上一點
處的切線與直線
平行，則函數
的解析式為___________.
10．設方程
的解為
,則關于
的不等式
的最大整數解為______.
11.某商品進貨規則是:不超過100件,按每件b元；若超過100件,按每件(b-20)元.現進貨不超過100件花了a元,若在此基礎上再多進13件,則花費仍為a元,設進貨價都是每件整元,則b=________________．
12．已知數列
滿足
， 
，
，類比課本中推導等比數列前
項和公式的方法，可求得
．
13．已知點O為
內一點，且
（其中
、
），若
，則
14．在平面直角坐標系中，已知
，若四邊形
的周長最小，則
=
．
15（本小題滿分14分）
二、解答題：本大題共6小題，共90分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
如圖，在四棱錐
中，底面
是矩形.已知
,設平面PBC與平面PAD的交線為
。
（Ⅰ）證明
；
（Ⅱ）證明
平面PBC與平面PAD所成二面角的一個平面角,并求其二面角的大小。
16（本小題滿分14分）
已知函數
，其中
是使能在
處取得最大值時的最小正整數．
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)設的三邊
滿足
且邊
所對的角
的取值集合為
，當
時，求的值域．
17（本小題滿分15分）
某地區預計明年從年初開始的前x個月內，對某種商品的需求總量f(x)（萬件）與月份x的近似關系為：
.
（Ⅰ）寫出明年第x個月的需求量g(x)（萬件）與月份x的函數關系，并求出哪個月份的需求量最大，最大需求量是多少？
（Ⅱ）如果將該商品每月都投放市場P萬件（銷售未完的商品都可以在以后各月銷售），要保證每月都足量供應，問P至少為多少萬件？
18（本小題滿分16分）
已知正方形的外接圓方程為
，A、B、C、D按逆時針方向排列，正方形一邊CD所在直線的方向向量為(3，1)．
（Ⅰ）求正方形對角線AC與BD所在直線的方程；
（Ⅱ）若頂點在原點，焦點在軸上的拋物線E經過正方形在x軸上方的兩個頂點A、B，求拋物線E的方程．
19（本小題滿分16分）
設
，等差數列
中
,
，記Sn=
,令
，數列
的前n項和為Tn。
（Ⅰ）求的通項公式和
；
（Ⅱ）求證：
；
（Ⅲ）是否存在正整數m,n,且1<m<n,使得
成等比數列？若存在，求出m,n的值，若不存在，說明理由。
20（本小題滿分16分）
已知函數
定義在R上.
（Ⅰ）若可以表示為一個偶函數
與一個奇函數
之和，設
，
，求出
的解析式；
（Ⅱ）若
對于
恒成立，求m的取值范圍；
（Ⅲ）若方程
無實根，求m的取值范圍.
連云港市2009屆高三數學模擬試題一
數 學（附加題）
21．（選做題）從A，B，C，D四個中選做2個，每題10分，共20分．
A．選修4―1 幾何證明選講
已知:如右圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB＝DC,過點D作AC的平行線DE,交BA的延長線于點E．求證：
(Ⅰ)△ABC≌△DCB
(Ⅱ)DE?DC＝AE?BD．
B．選修4―2 矩陣與變換
設
是把坐標平面上的點
分別變換成點
．
（Ⅰ）求矩陣的特征值及相應的特征向量；
（Ⅱ）求逆矩陣
以及橢圓
在的作用下的新曲線的方程．
C．選修4―4 參數方程與極坐標
已知某圓的極坐標方程為：
．
（Ⅰ）將極坐標方程化為普通方程；并選擇恰當的參數寫出它的參數方程；
（Ⅱ）若點P(x，y)在該圓上，求x＋y的最大值和最小值．
D．選修4―4 不等式證明
設
均為正數，且
，求證
．
22．（必做題（本小題滿分10分）
學校文娛隊的每位隊員唱歌、跳舞至少會一項，已知會唱歌的有2人，會跳舞的有5人，現從中選2人．設
為選出的人中既會唱歌又會跳舞的人數，且
．
（Ⅰ）求文娛隊的人數；
（Ⅱ）寫出的概率分布列并計算
．
23．（必做題（本小題滿分10分）
過點A(2,1)作曲線
的切線l．
（Ⅰ）求切線l的方程；
（Ⅱ）求切線l,x軸,y軸及曲線所圍成的封閉圖形的面積
．
一、填空題
1．
；2．-1；3．48；4．
；5．１；6．a
；7．
；
8．
；9．
；10．4；11．160；12．
；13．
；14．
．
二、解答題
15．證明：（Ⅰ）
因為平面PBC與平面PAD的交線為
所以
（Ⅱ）在
中，由題設
可得
于是
在矩形
中，
.又
，
所以
平面
又
即
平面PBC與平面PAD所成二面角的一個平面角
在
中 
所以平面PBC與平面PAD所成二面角的大小為
．
16．解：(Ⅰ)
……2分
由題意得
，
，得
，
當
時，最小正整數
的值為2，故
． ……6分
(Ⅱ)因
且 
則
當且僅當
，
時，等號成立
則
，又因
，則
，即 
……10分
由①知：
因
，則 
， 
，故函數
的值域為
．
……14分
17．解：（Ⅰ）
當
時，g(x)=f(x)-f(x-1)
當x=1時，g(x)=g(1)也適合上式
又
等號當且僅當x=12-x即x=6時成立，即當x=6時，
（萬件）
∴6月份該商品的需求量最大，最大需求量為
萬件。
（Ⅱ）依題意，對一切
，有
令
答每個月至少投入
萬件可以保證每個月都足量供應。
18．解：(Ⅰ) 由（x－12）2+y2=144－a(a<144),可知圓心M的坐標為(12，0)，
依題意，∠ABM=∠BAM=，kAB= , 設MA、MB的斜率k.
則
且
, 解得
=2，
=－ ．
∴所求BD方程為x+2y－12=0，AC方程為2x－y－24=0．
(Ⅱ) 設MB、MA的傾斜角分別為θ1，θ2，則tanθ1＝2，tanθ2＝－，
設圓半徑為r，則A（12＋
），B（12－
，
），
再設拋物線方程為y2＝2px (p＞0)，由于A，B兩點在拋物線上，
∴ ∴ r=4，p=2．
得拋物線方程為y2＝4x。
19．解:（Ⅰ）設數列
的公差為
，由
,
,解得
，=3
∴
∵
∴Sn=
=
(Ⅱ) 
∴
∴
(Ⅲ)由(2)知，
∴
，
∵
成等比數列
∴ 
即
當
時，7
，=1，不合題意；
當
時，
，=16，符合題意；
當
時，
，無正整數解；
當
時，
，無正整數解；
當
時，
，無正整數解；
當
時，
，無正整數解；
當
時，
，則
，而
，所以，此時不存在正整數m,n,且1<m<n,使得成等比數列。
綜上，存在正整數m=2,n=16,且1<m<n,使得成等比數列。
20．解:（Ⅰ）假設
①，其中
偶函數，
為奇函數，則有
，即
②，
由①②解得
，
.
∵定義在R上，∴，都定義在R上.
∵
，
.
∴是偶函數，是奇函數，
∵
，
∴
，
.
由
，則
，
平方得
，∴
，
∴
.
…………6分
（Ⅱ）∵
關于
單調遞增，∴
.
∴
對于
恒成立，
∴
對于恒成立，
令
，則
，
∵，∴
，故在上單調遞減，
∴
，∴
為m的取值范圍. …………10分
（Ⅲ）由（1）得
，
若
無實根，即
①無實根，
方程①的判別式
.
1°當方程①的判別式
，即
時，
方程①無實根. ……………12分
2°當方程①的判別式
，即
時，
方程①有兩個實根
，
即
②，
只要方程②無實根，故其判別式
，
即得
③，且
④，
∵，③恒成立，由④解得
，
∴③④同時成立得
．
綜上，m的取值范圍為. ……………16分
三、附加題
∵ÐDEF是公共角，
∴ΔDEF∽ΔCED． ∴ÐEDF=ÐC．
∵CD∥AP， ∴ÐC=Ð P．
∴ÐP=ÐEDF．
（2）∵ÐP=ÐEDF， ÐDEF=ÐPEA，
∴ΔDEF∽ΔPEA． ∴DE : PE=EF : EA．即EF?EP=DE?EA．
∵弦AD、BC相交于點E，∴DE?EA=CE?EB．∴CE?EB=EF?EP．
21B．解（Ⅰ）由條件得矩陣
，
它的特征值為
和
，對應的特征向量為
及
；
（Ⅱ）
，
橢圓
在
的作用下的新曲線的方程為
．
（Ⅱ）x＋y＝4＋2sin（
） 最大值6，最小值2 ．
21D．證明：
當且僅當
時，等號成立．
22．解：設既會唱歌又會跳舞的有x人，則文娛隊中共有（7-x）人，那么只會一項的人數是（7-2 x）人．
(I)∵
，
∴
．即
．
∴
．
∴x=2． 故文娛隊共有5人．
(II) 
，
，
的概率分布列為
0
1
2
P
∴
=1．
23．解：（Ⅰ）
；
（Ⅱ）
．
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