一、選擇題
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
選項(xiàng)
B
C
C
A
D
D
B
A
A
C
二、填空題
11. 
12. 2或16 13. 
14. 
15. 45° 16. 
17. （I）解：因?yàn)棣翞榈诙笙薜慕牵?sub>
，
所以，
，………………………………………2分
從統(tǒng)計(jì)的角度看，甲獲得85分以上（含85分）的概率
，
乙獲得85分以上（含85分）的概率
。
∵
，∴派乙參賽比較合適。
（Ⅱ） 記“甲同學(xué)在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中成績(jī)高于80分”為事件A，
。
隨機(jī)變量
的可能取值為0、1、2、3，
∴
，
。
所以變量的分布列為：
0
1
2
3
P
。
（或
） …………………………………… 12分
19. 
20. （Ⅰ）
由題意
①
②
由①、②可得，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是
…………………………………4分
（Ⅱ）存在
………………………………………5分
由（1）可知
，
+
0
－
0
+
單調(diào)增
極大值
單調(diào)減
極小值
單調(diào)增
，
.……………………………………………………7分
……………………………………8分
的極小值為1.………………………………8分
（Ⅲ）
∴其中等號(hào)成立的條件為
. ……………………………………………12分
另證：當(dāng)n=1時(shí)，左=0，右=0，原不等式成立. …………………………………11分
假設(shè)n=k (
)時(shí)成立，即
即當(dāng)
時(shí)原不等式成立.
綜上當(dāng)
成立. …………………………………12分
21. （I）解：
（III）解：
（III）解：
22. 解法一：
（Ⅰ）設(shè)橢圓
的方程為
。 ………………… 1分
∵
，
，∴
，
。 …… 4分
∴橢圓的方程為
。 ………………………………… 5分
（Ⅱ）取
得
，
直線
的方程是
直線
的方程是
交點(diǎn)為
……………………………………………………… 7分
若
，由對(duì)稱性可知交點(diǎn)為
若點(diǎn)
在同一條直線上，則直線只能為
。 ………………… 8分
以下證明對(duì)于任意的
直線與直線的交點(diǎn)均在直線上。
事實(shí)上，由
得
即
，
記
，則
�！� 9分
設(shè)與
交于點(diǎn)
由
得
設(shè)與交于點(diǎn)
由
得
…… 10分
， …………………………… 12分
∴
，即
與
重合，
這說明，當(dāng)
變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線上。 ……………… 13分
解法二：
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）取得，
直線的方程是直線的方程是
交點(diǎn)為 …………………………………………… 7分
取
得
，
直線的方程是
直線的方程是
交點(diǎn)為
∴若交點(diǎn)在同一條直線上，則直線只能為。 8分
以下證明對(duì)于任意的直線與直線的交點(diǎn)均在直線上。
事實(shí)上，由
得即，
記，則�！� 9分
的方程是
的方程是
消去
得
…………………………………… ①
以下用分析法證明
時(shí)，①式恒成立。
要證明①式恒成立，只需證明
即證
即證
……………… ②
∵
∴②式恒成立。
這說明，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線上。
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