福建省師大附中2009屆高三年級第六次月考測試數學試卷(理)2009.3
姓名_________ 班級_________ 學號____
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分50分，只有一項是符合題目要求的。
1、復數
的實部是（ ）
A．
B．
C．3 D．
2．設
,且
，則銳角
為（ ）
A．
B．
C．
D．
3．棱長為a的正方體中，連結相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為（ ）
A．
B. 
C.
D.
4．在等比數列
（ ）
A．
B．
C、
D．
變量
和
的值依次是（ ）
A．2550，2500 B．2550，2550
C．2500，2500 D．2500，2550
6．設
，
，
表示三條直線，
，
，
表示三個平面，給出下列四個命題：
①若⊥，⊥，則∥；
②若
，是在內的射影，⊥，則⊥；
③若，∥，則∥；
④若⊥，⊥，則∥. 其中真命題為（ ）
A．①② B．①②③ C．①②③④ D．③④
將函數
軸對稱，則n的最小正值是（ ）
A． B．
C．
D．
8. 已知線性約束條件為：
，則目標函數
的最大值為 （ ）
A.
B.
9. 已知正整數a,b滿足
取最小值時的實數對（a,b）是
A．（4，14） B．（5，10） C．（6，6） D．（7，2）
10.
橢圓
與雙曲線
有公共焦點，則橢圓的離心率是
A. 
B.
C.
D.
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，滿分20分。
11．某校舉行2008年元旦匯演，七位評委為某班的小品打出的分數(百分制)如下莖葉統計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數據的中位數和方差分別為 __________．
12．如圖，某空間幾何體的主視圖、側視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長為1，那么這個幾何體的體積為
.
13．已知函數
數列
滿足
，且是單調遞增數列，則實數a的取值范圍是
．
14．用紅、黃、藍三種顏色之一去涂圖中標號為
的9個小正方形（如圖），使得任意相鄰（有公共邊的）小正方形所涂顏色都不相同，且“3、5、
15．某同學在研究函數
(
R)
時，分別給出下面幾個結論：
①等式
在
時恒成立； ②函數 f (x) 的值域為 (－1,1)；
③若x1≠x2，則一定有f (x1)≠f (x2)； ④函數
在
上有三個零點.
其中正確結論的序號有 .(請將你認為正確的結論的序號都填上)
三、解答題：本大題共5小題，共65分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16.（本小題滿分13分）
設
是公比大于1的等比數列，
為數列的前項和．已知
，且
構成等差數列．
（1）求數列的通項公式．
（2）令
求數列
的前項和
．
17．（本小題滿分13分）
長方體ABCD-A1B
ABCD的邊長AB=
(1)求證：DE⊥平面BCE；
(2)求二面角E-BD-C的正切值。
18.（本小題滿分13分）
已知△ABC中
，
（1）若
，求△ABC是直角三角形的概率；
（2）若
，求△ABC中B是鈍角的概率.
19. （本小題滿分13分）
在直角坐標系
中，點P到兩點
的距離之和等于4，設點P的軌跡為C．
(1)寫出C的方程；
(2)設直線
與C交于A，B兩點．k為何值時
？此時
的值是多少？
20.（本小題滿分13分）
已知二次函數
.
（1）若
，試判斷函數
零點個數；
（2）是否存在
，使同時滿足以下條件
①對任意
，且
；
②對任意
,都有
。
若存在，求出
的值，若不存在，請說明理由。
（3）若對任意
且
，試證明存在
，使
成立。
21.選考題：請考生在第（1）、（2）、（3）題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分。本題滿分14分.
（1）. 選修4－4：坐標系與參數方程（本小題7分）
設方程
，（θ為參數）.表示的曲線為C，
(1)求曲線C上的動點到原點O的距離的最小值；
(2)點P為曲線C上的動點，當|OP|最小時(O為坐標原點)，寫出OP的參數方程并用直線參數方程求出點P的坐標。
（2）．選修4―2 矩陣與變換（本小題7分）
二階矩陣M對應的變換將點(1，－1)與(－2，1)分別變換成點(－1，－1)與(0，－2)．
（1）求矩陣M；
（2）設直線l在變換M作用下得到了直線m：x－y＝4，求l的方程．
（3）（不等式證明選講）若
，證明
。
一、選擇題
1．B 2．C 3．C 4．C 5．B 6．A
7．A 8．D 9．B 10.D
二、填空題
11．86；1.6；12.1/6 13.（ 4，8） 14.108 15.(1),（2）,(3)
三、解答題
16．解：（1）由已知得
解得
．設數列
的公比為
，
由，可得
．又
，可知
，
即
，
解得
． 由題意得
． 
．
故數列的通項為
．……………………………6分
（2）由于
由（1）得
=
……………..13分
17．(1)∵
=a， AB=
E為
的中點。
∴
，
DE⊥CE……（2分）
又∵
∴DE⊥EB ，而
∴DE⊥平面BCE…（6分）
(2) 取DC的中點F，則EF⊥平面BCD,作FH⊥BD于H，連EH，則∠EHF就是二面角E-BD-C的一個平面角。……………………（8分）
由題意得 EF=a，在Rt△
中，
…………（10分）
∴
∠EHF＝
.……………………………………………（13分）
18．解：由已知
，
得
，
（1）若
，
。若A是直角，則k=-2；若B是直角，則
k（2-k）+3=0, k=-1,k=3;若C是直角，則2（2-k）+12=0,k=8.故m=3,△ABC是直角三角形的概率為
（2）若
，且k≠
.區間長度L=6.若B是鈍角，則-k(2-k)-3<0, -1<k<3,L′=4. △ABC中B是鈍角的概率
k（2-k）+3=0, k=-1,k=3;若C是直角，則2（2-k）+12=0,k=8.故m=3,△ABC是直角三角形的概率為.
求△ABC是直角三角形的概率.
19．解：（Ⅰ）設P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以
為焦點，
長半軸為2的橢圓．它的短半軸
，
故曲線C的方程為
．????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
（Ⅱ）設
，其坐標滿足
消去y并整理得
，
故
．??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
，即
．而
，
于是
．
所以
時，，故．???????????????????????????????????????????????????????? 8分
當時，
，
．
，
而
，
所以
． 13分
20．解：（1）
當
時
，
函數
有一個零點；當
時，
，函數有兩個零點。…….3分
（2）假設
存在，由①知拋物線的對稱軸為x＝－1，∴
即 
由②知對
,都有
令
得
又因為
恒成立，
，即
，即
由
得
，
當時，
，其頂點為（－1，0）滿足條件①，又
對,都有，滿足條件②。
∴存在
，使
同時滿足條件①、②。…..8分
（3）令
，則
，
在
內必有一個實根。即
，使
成立。….13分
21．（1）1; (2) 
（2）（1）設M=
，則有
=
，
=
，
所以
且
解得
，所以M=
．…………………………5分
（2）任取直線l上一點P(x，y)經矩陣M變換后為點P’(x’，y’)．
因為
，所以又m：
，
所以直線l的方程(x+2y)－(3x+4y)=4，即x+y+2=0．………………………………7分
．
不等式證明選講）若
，證明
。
柯西不等式一步可得
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