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2009高考數學前三大題突破訓練（一）

立體幾何

1．在直四棱住中，，底面是邊長為的正方形，、、分別是棱、、的中點.

(Ⅰ)求證：平面平面;

(Ⅱ)求證：面.

2．如圖，正方體的棱長為2，E為AB的中點．

(1)求證：

（2）求點B到平面的距離.

3.如圖所示，在三棱柱中，平面，．

（Ⅰ）求三棱錐的體積；

（Ⅱ）若是棱的中點，棱的中點為，

證明:

4．如圖，在棱長均為2的三棱柱中，設側面四邊形的兩對角線相交于，若⊥平面，.

(1) 求證：⊥平面；

(2) 求三棱錐的體積.

5.如圖，在體積為1的三棱柱中，側棱底面，，

，為線段上的動點.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）線段上是否存在一點，

使四面體的體積為？若存在，

請確定點的位置；若不存在，請說明理由.

6．已知三棱柱ABC―A₁B₁C₁的直觀圖和三視圖如圖所示，其主視圖BB₁A₁A和側視圖A₁ACC₁均為矩形，其中AA₁=4。俯視圖ΔA₁B₁C₁中，B₁C₁=4，A₁C₁=3，A₁B₁=5，D是AB的中點。

（1）求證：AC⊥BC₁；

（2）求證：AC₁∥平面CDB₁；

（3）求異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值。

7.如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，，，點是的中點。

（Ⅰ）求證：

（Ⅱ）求證：

8．  如圖，在四棱錐中，ABCD是矩形，，， 點是的中點，點在上移動。

（1）      求三棱錐體積；

（2）      當點為的中點時，試判斷與

平面的關系，并說明理由；

（3）      求證：

9．如圖所示，四棱錐中，底面為正方形，平面，，，，分別為、、的中點．

   （1）求證：PA//平面；

（2）求證：；

（3）求三棱錐的體積．

10．如圖6，已知四棱錐中，⊥平面，如圖6，已知四棱錐中，⊥平面，

 是直角梯形，，90º，．

（1）求證：⊥；

（2）在線段上是否存在一點，使//平面，

   若存在，指出點的位置并加以證明；若不存在，請說明理由．

_11.

12．如圖所示是一個幾何體的直觀圖、 正視圖、俯視圖和側視圖C尺寸如圖 所示）。

（Ⅰ）求四棱錐的體積；

（Ⅱ）若上的動點，求證：。

13．如圖，四邊形為矩形，平面,

，平面于點，

且點在上.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求三棱錐的體積；

（Ⅲ）設點在線段上，且滿足，

試在線段上確定一點，使得平面.

14．已知四棱柱的三視圖如圖所示.

（1）畫出此四棱柱的直觀圖，并求出四棱柱的

 體積；

（2）若為上一點，平面，

試確定點位置，并證明平面

15.如圖是以正方形為底面的正四棱柱被一平面所截得的幾何體，四邊形為截面，且，．

（Ⅰ）證明：截面四邊形是菱形；

（Ⅱ）求三棱錐的體積．

16．正方形ABCD中，AB=2，E是AB邊的中點，F是BC邊上一點，將△AED及△DCF折起(如下圖)，使A、C點重合于A’點．

 (1)證明：A’DEF；

 (2)當BF=BC時，求三棱錐A’一EFD的體積．

17、已知四棱錐的三視圖如下圖所示，是側棱上的動點.

(1) 求四棱錐的體積；

(2) 是否不論點在何位置，都有？證明你的結論；

(3) 若點為的中點，求二面角的大小.

18、（2009廣雅期中）如圖，已知平面，平面，△為等邊三角形，

，為的中點.

(1) 求證：平面；

(2) 求證：平面平面；

(3) 求直線和平面所成角的正弦值.

19、如圖，四棱錐P―ABCD中，底面四邊形ABCD是正方形，側面PDC是邊長為a的正

三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E為PC的中點。

       （I）求異面直線PA與DE所成的角；

       （II）求點D到面PAB的距離.

20．如圖，在三棱錐A－BCD中，側面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD＝，BD＝CD＝1，另一個側面是正三角形

（1）求證：AD^BC

（2）在直線AC上是否存在一點E，使ED與面BCD成30°角？若存在確定E的位置；若不存在，說明理由。

1. 證明:(Ⅰ)分別是棱中點

四邊形為平行四邊形

又

平面……………3分

又是棱的中點

又

平面……………5分

又

平面平面……………6分

(Ⅱ)  ,同理

……………9分

面

又,

又,面,面

面………12分

2. （1）連接BD，由已知有、得

又由ABCD是正方形，得：、     ∵與相交，∴

（2）∵    ∴   又∵     ∴ 點E到的距離，有：    ，

 又由  ，  設點B到平面的距離為，

則 ， 有，， 所以點B到平面的距離為

3. 【解】在中，，，∴．

∵，∴四邊形為正方形．

       ----6分

（Ⅱ）當點為棱的中點時，平面．         ------8分

證明如下：

    如圖，取的中點，連、、，

∵、、分別為、、的中點，

∴．

∵平面，平面，

∴平面．　　　　    ------10分

同理可證平面．

∵，

∴平面平面．

∵平面，∴平面．   ------12分

4. （1）證明：∵⊥平面，而AO平面 ∴⊥   ………2分

∵,　∴，而BCFE為菱形，則為中點，

∴⊥,  且∴⊥平面.………6分

（2）∥, ∥平面

∴點、到面的距離相等                                     ………8分

   ∵ ，AO=AO

∴AOE≌AOB，得OE=OB ，即EC=FB，

而BCFE為菱形，則BCFE是正方形，                               ……………10分

計算得AO=，的面積等于正方形BCFE的一半，        ……………12分

因此                                   ……………14分

5. 解：（Ⅰ）證明：連結，

側棱底面ABC，

又.

平面.

又平面，

 . ………（3分）

，

四邊形為正方形，

.

， 平面 . …………………………（5分）

又平面，. …………………………………（6分）

（Ⅱ）設在線段上存在一點，使.

，  . ………………………（7分）

又且平面，

由，

知，

解得，存在的中點，使 . ……………（12分）

6. 解：（1）證明：因為主視圖和側視圖均為矩形，所以該三棱柱為直三棱柱……1分

又∵俯視圖中A₁C₁=3，B₁C₁=4，A₁B₁=5

∴A₁C₁²+B₁C₁²=A₁B₁²

∴∠A₁C₁B₁=∠ACB=90°

∴AC⊥BC 又∵AC⊥CC₁，CC₁∩BC=C

∴AC⊥平面BCC₁B₁  又∵BC₁平面BCC₁B₁

∴AC⊥BC₁  ………………………………4分

（2）證明：設CB₁與C₁B的交點為E，連結DE

∵D是AB的中點，E是BC₁的中點

∴DE∥AC₁

又∵DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁

∴AC₁∥平面CDB₁ ……………………………………………………………8分

（3）∵DE∥AC₁

∴∠CED為AC₁與B₁C所成的角

在ΔCED中  ED=AC₁=，CD=AB=

CE=CB₁=∴cos∠CED=

∴異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值為。……………………12分

7. ⑴

    ∴                                             …………………2

  又

    ∴                                     …………………5

     ∴                                         …………………6

（2）連結交于點，并連結                     …………………7

   四邊形為平行四邊形

    ∴為的中點                                      …………………8

  又為的中點

     ∴在中EO為中位線，                    …………………10

       ∴          …………………12

8. 解：（1），

（2）當點為的中點時，。

理由如下：點分別為、PD的中點，

。

，

（3）， 

                ，

                ，

                ，點是的中點 

                又   

9. 解（1）證法1：如圖，取的中點，連接………1分

∵分別為的中點，

∴      ………2分

∵分別為的中點，∴．

∴．∴四點共面  ………4分

∵分別為的中點，∴．

∵平面，平面，

∴平面           ………6分．

證法2：∵分別為的中點，

∴，  ………2分

∵，∴．………3分

∵，，

∴平面平面．

∵平面，∴平面．………6分

（2）解：∵平面，平面