湖北省鄂州市2009屆高三五月模擬試題
數學（文科）
命題人：胡俊峰 審題人：王兆良
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．設
＝(2，－3)，
＝(－4，3)，
＝(5，6)，則(
＋3)?等于
A．(－50，36) B．－
2．“a＝
”是“對任意的正數x，2x＋
≥
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．曲線y＝x3－x2＋4在點(2，8)處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積是
A．1 B．
4．正方體AC1中，P是棱AD的中點，則二面角A―BD1―P的大小是
A．
B．
C．
D．
5．若f (x)＝－x2＋2ax與
在區間[1，2]上都是減函數，則實數a的取值范圍是
A．
B．
C．
D．(0，1) 
6．已知f (x)＝
，當θ∈(
π，
π)時，f (sin2θ)－f (－sin2θ)可化簡為
A．2sinθ B．－2cosθ C．2cosθ D．－2sinθ
7．二對夫妻排成一行，夫妻不相鄰的不同排法共有（ ）種
A．6 B．
8．已知樣本：10，8，6，10，13，8，10，12，11，7，8，9，11，9，12，9，10，11，12，12，那么頻率為0.3的范圍是
A．5.5～7.5 B．9.5～
9．過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F 的直線l從上到下依次交拋物線于點A、B，交其準線于C，若
，
＝3，則拋物線的方程為
A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝
10．若圓x2＋y2?4x?4y?10＝0上至少有三個不同點到直線l；ax＋by＝0的距離為2
，則直線l的傾斜角范圍是
A．
B．
C．
D．
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。把答案填在相應位置上。
11．一條光線從點(5，3)射入，與x軸正方向成α角，遇x軸后反射，若tanα＝3，則反射光線所在直線方程是______________．
12．已知⊙M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x軸上動點，QA、QB分別切⊙M于A、B兩點，則直線AB恒過定點______________．
13．已知數列
滿足a1＝1，an＝a1＋的通項an＝_____________．
14．已知f (x)是R上的函數，且f (x＋2)＝
，若f (1)＝
，則f (2009)＝_______．
15．若直角三角形的周長為
．則它的最大面積為_______________．
三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16．（本小題滿分12分）已知函數
，
．
⑴求f (x)的最值；
⑵若不等式
＜2在上恒成立，求實數m的取值范圍．
17．（本小題滿分12分）如圖，已知四棱錐P―ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60o，E、F分別是BC、PC的中點．
⑴證明：AE⊥PD；
⑵若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為
，求二面角E―AF―C的余弦值．
18．（本小題滿分12分）當使用一儀器去測量一個高為
測量值
次數
5
15
10
15
5
⑴根據以上數據，求測量50次的平均值；
⑵若再用此儀器測量該建筑物一次，求測得數據為
⑶假如再使用此儀器測量該建筑物三次，求恰好兩次測得數據為
19．（本小題滿分12分）如圖所示，將邊長為2的正三角形鐵皮的三個角各切去一個全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個無蓋的正三棱柱容器，要求正三棱柱容器的高x與底面邊長之比不超過正常數t．
⑴把正三棱柱容器的容積V表示為x的函數，并寫出函數的定義域；
⑵x為何值時，容積V最大？并求最大值．
20．（本小題滿分13分）設f (x)＝
，方程f (x)＝x有唯一解，數列{xn}滿足f (x1)＝1，
xn＋1＝f (xn)(n∈N*)．
⑴求數列{xn}的通項公式；
⑵已知數列{an}滿足
，
，求證：對一切n≥2的正整數都滿足
．
21．（本小題滿分14分）已知橢圓的中心為坐標原點，焦點在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，向量
與向量
共線．
⑴求橢圓的離心率；
⑵設M為橢圓上任意一點，且
．證明：λ2＋μ2為定值．
鄂州市2009屆高三五月模擬試題
一、選擇題
1．D 2．B 3．C 4．D 5．B 6．C 7．C 8．D 9．C 10．D
二、填空題
11．
12．
13．
14．2+
15．
三、解答題
16．⑴∵
1分
＝
3分
又由
得
∴
5分
故
，f (x)max＝1+2×1＝3 6分
⑵
＜2在上恒成立
時
9分
結合⑴知：
故m的取值范圍是（1，4） 12分
17．⑴連結AC，△ABC為正△，又E為BC中點，∴AE⊥BC又AD∥BC
∴AE⊥AD，又PA⊥平面ABCD
故AD為PD在平面ABCD內的射影，由三垂線定理知：AE⊥PD。 4分
⑵連HA，由EA⊥平面PAD知∠AHE為EH與平面PAD所成線面角 5分
而tan∠AHE＝
故當AH最小即AH⊥PD時EH與平面PAD所成角最大
6分
令AB＝2，則AE＝，此時
∴AH＝
，由平幾知識得PA＝2 7分
因為PA⊥平面ABCD，PA
平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD
過E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC
過O作OS⊥AF于S，連結ES，則∠ESO
為二面角E―AF―C的平面角 9分
在Rt△AOE中，EO＝AE?sin30o＝
，AO＝AE?cos30o＝
又F是PC的中點，在Rt△ASO中，SO＝AO?sin45o＝
又SE＝
，在Rt△ESO中，cos∠ESO＝
即所求二面角的余弦值為
12分
注：向量法及其它方法可參照給分。
18．⑴設平均數為
，
即測量50次的平均值為
⑵
7分
⑶每一次測得數據為
10分
故所求概率
12分
19．⑴容器底面是邊長為(2－2x)的正三角形，高為x
∴
∴
故定義域為
⑵
，
5分
令V'＝0得x＜
或x＞1；V'＜0得
∴V在(0，)和(1，＋∞)上單調遞增，在(，1)上單調遞減
當
時，x＝時，V最大，Vmax＝V()＝
當
即
時，由V在(0，)上遞增知
x＝
時，V最大，Vmax＝
20．⑴由
得ax2＋(
∴當且僅當
時，有唯一解x＝0，∴
當
得x1＝2，由
∴數列
是首項為
，公差為
的等差數列
∴
7分
⑵
又
∴
且an＞0，a2＝
∴
即
當n≥2時，
故
21．⑴設橢圓方程為
，F(c，0)
則AB∶y＝x－c代入
得(a2＋b2)x2－
令A(x1、y1)、B(x2、y2)，則
由
與
共線
得3(y1＋y2)＋(x1＋x2)＝0，又y1＝x1－c，y2＝x2－c
∴3(x1＋x2－
∴
即a2＝3b2，故
7分
⑵由⑴知a2＝3b2，橢圓方程可化為x2＋3y2＝3b2
設
＝(x，y)，則(x，y)＝λ(x1，y1)＋μ(x2，y2)
∴
∵M(x，y)在橢圓上
∴(λx1＋μx2)2＋(λy2＋μy2)2＝3b2
即λ2(x12＋3y12)＋μ2(3x22＋3y22)＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2 ①
由⑴知，x1＋x2＝
，a2＝
，b2＝
∴x1x2＝
∴x1x2＋3y1y2＝x1x2＋3(x1－c)(x2－c)＝4x1x2－3(x1＋x2)c＋
＝
又x12＋3y12＝3b2，x22＋3y22＝3b2代入①得λ2＋μ2＝1 14分
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