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 一些數學思想在解題中的應用

  李光斗   趙國瑞

    在直線，射線，線段這一部分內容中，滲透了許多重要的數學思想和方法，下面舉例說明。

一. 數形結合思想

    例1. 同學們去公路旁植樹，每隔3m植一棵樹，問在21m長的公路旁最多可植幾棵樹？你可能會不假思索地在回答，三七二十一，可植樹7棵，那就錯了，結合圖形觀察后就知道了。

    解：從圖1看，顯然可植8棵。

圖1

    說明：對于這類題目要注意考慮線段的端點，否定容易出錯。

二. 方程思想

    例2. 點D、E在線段AB上，且都在AB中點的同側，點D分AB為2：5兩部分，點E分AB為4：5兩部分，若DE=5cm，則AB的長為（    ）。

圖2

    解：由題意，得如圖2所示，設AB=x，則，由，得，解得，即。

三. 整體思想

    例3. 已知：如圖3所示，C是線段AB上一點，點D、E分別是AC、CB的中點，若，求線段DE的長。

圖3

    解：∵D、E分別是AC、BC的中點

    說明：解答本題的關鍵是逆用分配律得出待求線段和已知線段這個整體的關系。

四. 分類討論思想

    例4. 已知線段AB=8cm，在直線AB上畫線段BC使它等于3cm，求線段AC的長。

圖4

    分析：由于點C可能在線段AB上，也可能在線段AB外，因此需要分類討論。

    解：當點C在線段AB上時，如圖4所示，。

    當點C在線段AB外時，如圖5所示，。

圖5

    因此線段AC長為5cm或11cm。

五. 歸納猜想思想

    例5. （2001年江蘇無錫中考題）

    根據題意，完成下列填空：如圖6所示，與是同一平面內的兩條相交直線，它們有一個交點，如果在這個平面內，再畫第3條直線，那么這3條直線最多可有（    ）個交點；如果在這個平面內再畫第4條直線，那么這4條直線最多可有（    ）個交點；由此我們可以猜想：在同一平面內，6條直線最多可有（    ）個交點。n（n為大于1的整數）條直線最多可有（    ）個交點（用含n的代數式表示）。

    解：（1）畫圖觀察

圖6

    （2）列表歸納

    （3）猜想：

   ，……

    于是，可猜想n條直線最多可有交點個數為：

    于是，當時，個交點。