【題目】如圖1，已知：矩形ABCD中，AC、BD是對角線，分別延長AD至E，延長CD至F，使得DE=AD，DF=CD．
（1）求證：四邊形ACEF為菱形．
（2）如圖2，過E作EG⊥AC的延長線于G，若AG=8，cos∠ECG=
，則AD= （直接填空）
【答案】（1）證明見解析；（2）2
．
【解析】試題分析：（1）先證明四邊形ACEF是平行四邊形，再由矩形的性質證出AE⊥CF，即可得出四邊形ACEF是菱形；
（2）由菱形的性質得出AC=CE，AD=ED，與三角函數得出CG=
CE=
AC，得出CG=3，CE=AC=5，由勾股定理求出EG=
=4，在Rt△AEG中，由勾股定理求出AE=
=4
，即可得出AD的長．
試題解析：（1）∵DE=AD，DF=CD．∴四邊形ACEF是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，
∴AE⊥CF，∴四邊形ACEF是菱形；
（2）∵四邊形ACEF是菱形，∴AC=CE，AD=ED，
∵EG⊥AC，cos∠ECG=
=
，∴CG=
CE=
AC，
∵AG=AC+CG=8，∴CG=3，CE=AC=5，∴EG=
=4，
在Rt△AEG中，AE=
=
=4
，∴AD=
AE=2
；
故答案為：2
．
出彩同步大試卷系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖,將ABCD沿過點A的直線l折疊,使點D落到AB邊上的點D'處,直線l交CD邊于點E,連接BE.
（1）求證:四邊形BCED'是平行四邊形;
（2）若BE平分∠ABC,求證:AB2=AE2+BE2.
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