Question

如圖甲所示，豎直放置的金屬板A、B中間開有小孔，小孔的連線沿水平放置的金屬板C、D的中軸線，粒子源P可以連續(xù)地產(chǎn)生質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子（初速不計(jì)），粒子在A、B間被加速后，再進(jìn)入金屬板C、D間偏轉(zhuǎn)并均能從此電場(chǎng)中射出．已知金屬板A、B間的電壓U_AB=U₀，金屬板C、D長(zhǎng)度為L(zhǎng)，間距d=

3 L

3

．兩板之間的電壓U_CD隨時(shí)間t變化的圖象如圖乙所示．在金屬板C、D右側(cè)有一個(gè)垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布在圖示的半環(huán)形帶中，該環(huán)形帶的內(nèi)、外圓心與金屬板C、D的中心O點(diǎn)重合，內(nèi)圓半徑R_l=

3 L

3

．磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀=

24mU0 qL2

．已知粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間遠(yuǎn)小于電場(chǎng)變化的周期（電場(chǎng)變化的周期T未知），粒子重力不計(jì)．
（1）求粒子離開偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)，在垂直于板面方向偏移的最大距離；
（2）若所有粒子均不能從環(huán)形磁場(chǎng)的右側(cè)穿出，求環(huán)形帶磁場(chǎng)的最小寬度．

Answer 1

分析：（1）對(duì)粒子加速過程由動(dòng)能定理求得進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的速度．要在垂直于板面方向偏移的距離最大，那么粒子的加速度也要最大，即所加的電壓最大．根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解．
（2）進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的粒子剛好不能穿出磁場(chǎng)時(shí)的環(huán)帶寬度為磁場(chǎng)的最小寬度，根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，畫出粒子剛好不能穿出磁場(chǎng)的軌跡圖，根據(jù)半徑公式結(jié)合幾何關(guān)系求解．

解答：解：（1）設(shè)粒子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)瞬間的速度為v，
對(duì)粒子加速過程由動(dòng)能定理得qU_AB=

1

2

m

v

2

                             
進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)后，加速度a=

qUcd

md

                                   
設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則有L=v₀t                                        
只有t=

T

2

時(shí)刻進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的粒子，垂直于極板方向偏移的距離最大
y=

1

2

at²=

qUcd

md

=

3

6

L                                    
（2）t=

T

2

時(shí)刻進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的粒子剛好不能穿出磁場(chǎng)時(shí)的環(huán)帶寬度為磁場(chǎng)的最小寬度．
設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v′，
對(duì)粒子的偏轉(zhuǎn)過程有 

1

3

qU=

1

2

mv′2-

1

2

mv2                               
解得：v′=

8qU0 3m

                       
在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R=

mv

qB

=

L

3

      
如圖所示，設(shè)環(huán)帶外圓半徑為R₂，
（R₂-R₁）²=

R

2 1

+R

2 2

 解得：R₂=L                            
所求d=R₂-R₁=（1-

3

3

）L
答：（1）粒子離開偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)，在垂直于板面方向偏移的最大距離是

3

6

L；
（2）環(huán)形帶磁場(chǎng)的最小寬度是（1-

3

3

）L．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了帶電粒子分別在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況，當(dāng)兩極間加上電壓時(shí)，粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解問題．粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要掌握住半徑公式，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡后，幾何關(guān)系就比較明顯了．