Question

（2008?上海）如圖所示為研究電子槍中電子在電場中運動的簡化模型示意圖．在Oxy平面的ABCD區域內，存在兩個場強大小均為E的勻強電場I和II，兩電場的邊界均是邊長為L的正方形（不計電子所受重力）．
（1）在該區域AB邊的中點處由靜止釋放電子，求電子離開ABCD區域的位置．
（2）在電場I區域內適當位置由靜止釋放電子，電子恰能從ABCD區域左下角D處離開，求所有釋放點的位置．
（3）若將左側電場II整體水平向右移動

L

n

（n≥1），仍使電子從ABCD區域左下角D處離開（D不隨電場移動），求在電場I區域內由靜止釋放電子的所有位置．

Answer 1

分析：（1）、此問分為兩個過程，一是在電場Ⅰ區域的加速運動，運用能量的關系可求出加速后的速度；二是在電場Ⅱ區域內的偏轉，運用類平拋的知識可求出偏轉距離，從而得到電子離開ABCD區域的位置．
（2）、首先設出釋放點的坐標，在運用在電場I中的加速和在電場II中的類平拋運動，計算出表示xy的乘積的方程，滿足此式的點即為符合要求的點．
（3）、該問分為三個階段，一是在電場I中的直線加速運動，二是在電場II中的類平拋運動，三是從電場II射出后的勻速直線運動，結合第二問的解題思路，可求出結果．

解答：解：（1）設電子的質量為m，電量為e，在電場I中釋放后將做出速度為零的勻加速直線運動，出區域I時的速度為v_o，接著進入電場II做類平拋運動，假設電子從CD邊射出，出射點縱坐標為y，對電子的整個運動過程運用動能定理和勻變速直線運動公式有：eEL=

1

2

mv2
(

L

2

-y)=

1

2

 at2=

1

2

eE

m

(

L

v0

)2
以上兩式聯立解得：y=

1

4

L，所以原假設成立，即電子離開ABCD區域的位置坐標為（-2L，

1

4

L）．
（2）設釋放點在電場區域I中，其坐標為（x，y），在電場I中電子被加速到v₁，然后進入電場II做類平拋運動，并從D點離開，有：eEx=

1

2

m

v

2 1

        y=

1

2

at2=

1

2

eE

m

(

L

v1

)2
以上兩式聯立解得：xy=

L2

4

，即在電場I區域內滿足方程的點即為所求位置．
（3）設電子從（x，y）點釋放，在電場I中加速到v₂，進入電場II后做類平拋運動，在高度為y′處離開電場II時的情景與（2）中類似，然后電子做勻速直線運動，經過D點，則有：
eEx=

1

2

m

v

2 2

y-y′=

1

2

at2=

1

2

eE

m

(

L

v2

)2
vy=at=

eEL

mv2

，
y′=vy

L

nv2

以上各式解得：xy=L2(

1

2n

+

1

4

)，即在電場I區域內滿足方程的點即為所求位置．
答：（1）在該區域AB邊的中點處由靜止釋放電子，電子從（-2L，

1

4

L）離開ABCD區域．
（2）在電場I區域內適當位置由靜止釋放電子，電子恰能從ABCD區域左下角D處離開，所有釋放點為滿足xy=

L2

4

的位置．
（3）若將左側電場II整體水平向右移動

L

n

（n≥1），仍使電子從ABCD區域左下角D處離開（D不隨電場移動），在電場I區域內由靜止釋放電子的所有位置為xy=L2(

1

2n

+

1

4

)．

點評：（2008?上海） 本題考核了帶電粒子在簡化的電子槍模型中的運動情況，是一道拓展型試題，與常見題所不同的是，一般試題是已知電子的出發點，然后求電子在電場作用下運動過程中的軌跡或離開電場的出射點位置，而本題則是反其道而行之，是規定了電子的出射點，要反推出在何處發出電子才能滿足所述要求．從內容看，該題涉及的是電子在電場中的運動，這部分知識學生相對比較熟悉，也是經常訓練的題型之一，只不過本題作了拓展．