Question

為了研究過山車的原理，某興趣小組提出了下列設(shè)想：取一個(gè)與水平方向夾角為37°、長為的粗糙傾斜軌道，通過水平軌道與豎直圓軌道相連，出口為水平軌道，整個(gè)軌道除 段以外都是光滑的。其與 軌道以微小圓弧相接，如圖所示．一個(gè)小物塊以初速度v₀＝4.0m/s從某一高處水平拋出，到點(diǎn)時(shí)速度方向恰好沿 方向，并沿傾斜軌道滑下．已知物塊與傾斜軌道的動(dòng)摩擦因數(shù) μ = 0.50．（＝10m/s²、sin37°＝0.60、cos37°＝0.80）

⑴求小物塊到達(dá)點(diǎn)時(shí)速度。
⑵要使小物塊不離開軌道，并從軌道滑出，求豎直圓弧軌道的半徑應(yīng)該滿足什么條件？
⑶為了讓小物塊不離開軌道，并且能夠滑回傾斜軌道，則豎直圓軌道的半徑應(yīng)該滿足什么條件？

Answer 1

⑴v_A=" 5" m/s⑵R₁ ≤ 0.66m⑶R₂ ≥ 1.65m

⑴ 小物塊先做平拋運(yùn)動(dòng)，然后恰好沿斜面AB方向滑下，
則v_A = v₀ / cos37°                 （2分）
得v_A=" 5" m/s，                    （1分）
⑵ 物體在斜面上到的摩擦力F _f = μF_N = μmgcos37°    
設(shè)物塊到達(dá)圓軌道最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為v₁，軌道半徑為 R₀，
則mg = mv₁²/R₀                                       （1分）
物塊從拋出到圓軌道最高點(diǎn)的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理有：
mg(h + lsin37° – 2R₀) – μmgcos37°·l = mv₁²/2 – mv₀²/2.            （2分）
聯(lián)立上式，解得R₀ = 0.66m                                   （1分）
若物塊從水平軌道 DE 滑出，圓弧軌道的半徑滿足 R₁ ≤ 0.66m    （1分）
⑶ 為了讓小物塊不離開軌道，并且能夠滑回傾斜軌道 AB，則物塊在軌道上上升的最大高度須小于或等于軌道的半徑，設(shè)軌道半徑的最小值為R′₀，則
mg(h + lsin37°) – μmgcos37°·l – mg R′₀ =" 0" – mv₀²/2   （2分）
解得                         R′₀= 1.65m                   （1分）
物塊能夠滑回傾斜軌道 AB，則 R₂ ≥ 1.65m                   （1分）
其它列式正確同樣給分
本題考查平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律、動(dòng)能定理的應(yīng)用，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律起初A點(diǎn)速度，在最高點(diǎn)只有重力提供向心力速度大小，根據(jù)動(dòng)能定理求半徑R0