Question

如圖所示的平行板之間，存在著相互垂直的勻強磁場和勻強電場，磁場的磁感應強度B₁=0.20T，方向垂直紙面向里，電場強度E₁=1.0×10⁵ V/m，PQ為板間中線．緊靠平行板右側邊緣xOy坐標系的第一象限內，有一邊界線AO，與y軸的夾角∠AOy=45°，邊界線的上方有垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度B₂=0.25T，邊界線的下方有水平向右的勻強電場，電場強度E₂=5.0×10⁵ V/m，在x軸上固定一水平的熒光屏．一束帶電荷量q=8.0×10^-19C、質量m=8.0×10^-26 kg的正離子從P點射入平行板間，沿中線PQ做直線運動，穿出平行板后從y軸上坐標為（0，0.4m）的Q點垂直y軸射入磁場區，最后打到水平的熒光屏上的位置C．求：
（1）離子在平行板間運動的速度大小．
（2）離子打到熒光屏上的位置C的坐標．
（3）現只改變AOy區域內磁場的磁感應強度  大小，使離子都不能打到x軸上，磁感應強度大小B₂′應滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）帶電粒子電場力與洛倫茲力平衡時，即可求解；
（2）離子在洛倫茲力作用下，做勻速圓周運動，由牛頓第二定律可求出半徑；離子在電場中做類平拋運動，根據運動學公式可求出發生位移，從而確定離子打到熒光屏的水平坐標；
（3）根據幾何知識來畫出運動軌跡，求出最大半徑，并結合牛頓第二定律，求出磁場滿足的條件．

解答：解：
（1）設離子的速度大小為v，由于沿中線PQ做直線運動，
則有qE₁=qvB₁，
代入數據解得：v=5.0×10⁵ m/s，
（2）離子進入磁場，做勻速圓周運動，
由牛頓第二定律有：qvB₂=m

v2

r

得，r=0.2 m，
作出離子的運動軌跡，交OA邊界于N，如圖甲所示，OQ=2r，
若磁場無邊界，一定通過O點，則圓弧QN的圓周角為45°，
則軌跡圓弧的圓心角為θ=90°，過N點做圓弧切線，方向豎直向下，
離子垂直電場線進入電場，做類平拋運動，
y=OO′=vt，
x=

1

2

at²，
而a=

E2q

m

，
則x=0.4 m
離子打到熒光屏上的位置C的水平坐標為x_C=（0.2+0.4）m=0.6 m．
（3）只要粒子能跨過AO邊界進入水平電場中，粒子就具有豎直向下的速度而一定打在x軸上．
如圖乙所示，由幾何關系可知使離子不能打到x軸上的最大半徑
r′=

0.4

2 +1

 m，
設使離子都不能打到x軸上，最小的磁感應強度大小為B₀，
則qvB₀=m

v2

r′

，
代入數據解得B₀=

2 +1

8

 T=0.3 T，
則B₂′≥0.3 T．
答案：（1）離子在平行板間運動的速度大小5.0×10⁵ m/s．
（2）離子打到熒光屏上的位置C的坐標0.6 m．
（3）現只改變AOy區域內磁場的磁感應強度大小，使離子都不能打到x軸上，磁感應強度大小B₂′應滿足B₂′≥0.3 T條件．

點評：考查帶電粒子做勻速圓周運動與類平拋運動中，用牛頓第二定律與運動學公式，并結合幾何關系來處理這兩種運動，強調運動的分解，并突出準確的運動軌跡圖．