Question

如圖，C₁D₁E₁F₁和C₂D₂E₂F₂是距離為L的相同光滑導軌，C₁D₁和E₁F₁為兩段四分之一圓弧，半徑分別為r₁=8r和r₂=r．在水平矩形D₁E₁E₂D₂內有豎直向上的勻強磁場，磁感應強度為B．導體棒P、Q的長度均為L，質量均為m，電阻均為R，其余電阻不計，Q停在圖中位置，現將P從軌道最高點無初速釋放，則
（1）求導體棒P進入磁場瞬間，回路中的電流的大小和方向（順時針或逆時針）；
（2）若P、Q不會在軌道上發生碰撞，棒Q到達E₁E₂瞬間，恰能脫離軌道飛出，求導體棒P離開軌道瞬間的速度；
（3）若P、Q不會在軌道上發生碰撞，且兩者到達E₁E₂瞬間，均能脫離軌道飛出，求回路中產生熱量的范圍．

Answer 1

分析：（1）根據機械能守恒定律求出求導體棒P到達D₁D₂的速度大小，然后根據法拉第電磁感應定律即可求解；
（2）恰好脫了軌道的條件是重力提供向心力，兩棒作用過程中動量守恒，由此可正確解答；
（3）根據題意求出臨界條件結合動量守恒和功能關系即可正確求解．

解答：解：（1）導體棒P由C₁C₂下滑到D₁D₂，根據機械能守恒定律：
mgr1=

1

2

m

v

2 D

，vD=4

gr

求導體棒P到達D₁D₂瞬間：
E=BLv_D
回路中的電流：I=

E

2R

=

2BL gr

R

（2）棒Q到達E₁E₂瞬間，恰能脫離軌道飛出，此時對Q：
mg=

m v 2 Q

r2

vQ=

gr

設導體棒P離開軌道瞬間的速度為，根據動量守恒定律：
mv_D=mv_P+mv_Q
代入數據得：v_P=3

gr

．
（3）由（2）若導體棒Q恰能在到達E₁E₂瞬間飛離軌道，P也必能在該處飛離軌道
根據能量守恒，回路中產生的熱量
Q1=

1

2

m

v

2 D

-

1

2

m

v

2 P

-

1

2

m

v

2 Q

=3mgr
若導體棒Q與P能達到共速v，則根據動量守恒：
mv_D=（m+m）v
v=2

gr

回路中產生的熱量Q2=

1

2

m

v

2 D

-

1

2

(m+m)

v

2

=4mgr
答：（1）回路中的電流的大小為

2BL gr

R

，方向逆時針方向．
（2）導體棒P離開軌道瞬間的速度：v_P=3

gr

．
（3）綜上所述，回路中產生熱量的范圍是3mgr≤Q≤4mgr．

點評：是電磁感應與電路、磁場、力學、功能關系，臨界條件等知識的綜合應用，重點考察了功能關系以及動量守恒定律的應用，是考查分析和處理綜合題的能力的好題．