Question

如圖所示，水平軌道上，輕彈簧左端固定，自然狀態(tài)時右端位于P點。現(xiàn)用一質(zhì)量m=0.1kg的小物塊 (視為質(zhì)點)將彈簧壓縮后釋放，物塊經(jīng)過P點時的速度v₀=18m/s，經(jīng)過水平軌道右端Q點后恰好沿半圓軌道的切線進入豎直固定的圓軌道，最后滑上質(zhì)量M=0.9kg的長木板(木板足夠長，物塊滑上去不會從木板上掉下來)。已知PQ間的距離l=1m，豎直半圓軌道光滑且半徑R=1m，物塊與水平軌道間的動摩擦因數(shù)??₁=0.15，與木板間的動摩擦因數(shù)??₂=0.2，木板與水平地面間的動摩擦因數(shù)??₃=0.01，取g=10m/s²。

      (1)判斷物塊經(jīng)過Q點后能否沿圓周軌道運動；

       (2)求木板滑行的最大距離x。

Answer 1

(1) 物塊能沿圓周軌道運動；(2) x= 9.5m。

解析:

（1）物塊在PQ上運動的加速度

a₁=-??₁g=-1.5m/s²  

進入圓周軌道時的速度為v

v²-v₀²=2a₁l

得v²=v₀²+2a₁l =321 m²/s²

（求物塊進入圓周軌道時的速度也可用動能定理）

設(shè)物塊剛離開Q點時，圓軌道對物塊的壓力為F_N ，

根據(jù)牛頓定律，有

F_N+mg=m

F_N =m- mg=31.1N>0

故物塊能沿圓周軌道運動

(2)物塊滑上木板時的速度為v₁

得v₁=19m/s    

物塊滑上木板時的加速度為a₂

a₂=-??₂g=-2m/s²    

木板的加速度位a₃

??₂mg-??₃(m+M)g=Ma₃

=m/s²  

設(shè)物塊滑上木板經(jīng)過時間t二者共速，

v₁+a₂t=a₃t

t=9s     

這時木板的位移

s₁=a₃t²=4.5m  

它們的共同速度

v₂=a₃t=1m/s  

物塊和木板一起減速的加速度a₄=-??₃g=-0.1m/s²，

它們減速運動的位移s₂==5m  

x=s₁+s₂=9.5m    

本題綜合性較強，既涉及單各物體的多運動過程——物塊的加速運動、勻減速運動、圓周運動、勻減速運動、勻減速運動，由涉及兩個物體組成的連接體物體——物塊沖上長木板后，物塊減速、長木板加速，共速后一起減速直至停止。用到的知識點比較多：牛頓定律、運動學公式、圓周運動的向心力、動能定理、機械能守恒。是一道考查考生綜合分析能力的好題。