Question

如圖甲所示，水平直線MN下方有豎直向上的勻強電場，場強E=

π

10

×10 ⁴ N/C．現將一重力不計、比荷

q

m

=10⁶ C/kg的正電荷從電場中的O點由靜止釋放，經過t₀=1×10^-5s后，通過MN上的P點進入其上方的勻強磁場．磁場方向垂直于紙面向外，以電荷第一次通過MN時開始計時，磁感應強度按圖乙所示規律周期性變化．
（1）求電荷進入磁場時的速度v₀；
（2）求圖乙中t=2×10^-5s時刻電荷與P點的距離；
（3）如果在P點右方d=105cm處有一垂直于MN的足夠大的擋板，求電荷從O點出發運動到擋板所需的時間．

Answer 1

分析：（1）電荷在電場中做勻加速直線運動，根據運動學公式和牛頓第二定律結合可求出電荷進入磁場時的速度v₀．
（2）電荷進入磁場后做勻速圓周運動，分別求出電荷在磁場中運動的半徑和周期，畫出軌跡，由幾何關系求出t=2×10^-5s時刻電荷與P點的水平距離．
（3）電荷在周期性變化的磁場中運動，根據周期性分析電荷到達檔板前運動的完整周期數，即可求出荷沿MN運動的距離．根據電荷擋板前的運動軌跡，求出其運動時間，即得總時間．

解答：解：（1）電荷在電場中做勻加速直線運動，設其在電場中運動的時間為t₁，有：
    v₀=at₀  Eq=ma
解得：v0=

qE

m

?t0=

q

m

?Et0=106×

π

10

×104×1×10-5m/s=π×10⁴m/s；          
（2）當磁場垂直紙面向外B1=

π

20

T時，電荷運動的半徑：r1=

mv0

qB1

代入數據得：r₁=0.2m
周期T1=

2πm

qB1

代入數據得：T1=4×10-5s
當磁場B2=

π

10

時，電荷運動的半徑：r2=

mv0

qB2

代入數據得：r₂=0.1m
周期  T2=

2πm

qB2

代入數據得：T2=2×10-5s  
故電荷從t=0時刻開始做周期性運動，其運動軌跡如圖1所示．

t=2×10^-5s時刻電荷先沿大圓軌跡運動四分之一周期，然后再沿小圓弧運動半個周期，與P點的水平距離：△d=r₁=0.2m；  
（3）電荷從第一次通過MN開始，其運動的周期為：T=6×10^-5 s，每一個周期內沿PN的方向運動的距離為0.4=40cm，故電荷到達擋板前運動的完整的周期數為2個，沿PN方向運動的距離為80cm，最后25cm的距離如圖2所示，設正電荷以α角撞擊到擋板上，有：
r₁+r₂cosα=0.25m
代入數據解得：cosα=0.5，即α=60°
 故電荷運動的總時間：t總=t0+2T+

1

4

T1+

30°

360°

?T2
代入數據解得：t總=1.42×10-5s
答：（1）電荷進入磁場時的速度為π×10⁴m/s．（2）t=2×10^-5s時刻電荷與P點的水平距離為20cm．（3）電荷從O點出發運動到擋板所需的時間為1.42×10^-4s．

點評：本題是帶電粒子在電場和磁場中運動的問題，電荷在電場中運動時，由牛頓第二定律和運動學公式結合研究是最常用的方法，也可以由動量定理處理．電荷在周期性磁場中運動時，要抓住周期性即重復性進行分析，根據軌跡求解時間．