Question

探究能力是物理學研究的重要能力之一．物體因繞軸轉動而具有的動能叫轉動動能，轉動動能的大小與物體轉動的角速度有關．為了研究某一砂輪的轉動動能E_k與角速度ω的關系．某同學采用了下述實驗方法進行探索：如圖先讓砂輪由動力帶動勻速旋轉測得其角速度ω，然后讓砂輪脫離動力，由于克服轉軸間摩擦力做功，砂輪最后停下，測出砂輪脫離動力到停止轉動的圈數n，通過分析實驗數據，得出結論．經實驗測得的幾組ω和n如下表所示：

ω/rad?s-1	0.5	1	2	3	4
n	5.0	20	80	180	320
Ek/J

另外已測得砂輪轉軸的直徑為1cm，轉軸間的摩擦力恒定為10/π（N）．
（1）計算出砂輪每次脫離動力的轉動動能，并填入上表中．
（2）由上述數據推導出該砂輪的轉動動能E_k與角速度ω的關系式為    ．
（3）若測得脫離動力后砂輪的角速度為2.5rad/s，則它轉過45圈后的角速度為    rad/s．

Answer 1

【答案】分析：（1）砂輪克服轉軸間摩擦力做功公式W=f?n?πD，f是轉軸間的摩擦力大小，n是砂輪脫離動力到停止轉動的圈數，D是砂輪轉軸的直徑．根據動能定理得知，砂輪克服轉軸間摩擦力做功等于砂輪動能的減小，求解砂輪每次脫離動力的轉動動能．
（2）采用數學歸納法研究砂輪的轉動動能E_k與角速度ω的關系式：當砂輪的角速度增大為原來2倍時，砂輪的轉動動能E_k是原來的4倍；當砂輪的角速度增大為原來4倍時，砂輪的轉動動能E_k是原來的16倍，得到E_k與ω²成正比，則有關系式E_k=kω²．將任一組數據代入求出比例系數k，得到砂輪的轉動動能E_k與角速度ω的關系式．
（3）根據動能與角速度的關系式，用砂輪的角速度表示動能，根據動能定理求出轉過45圈后的角速度．
解答：解：
（1）根據動能定理得：E_k=f?n?πD，代入計算得到數據如下表所示．

ω/rad?s-1	0.5	1	2	3	4
n	5.0	20	80	180	320
Ek/J	0.5	2	8	18	32

（2）由表格中數據分析可知，當砂輪的角速度增大為原來2倍時，砂輪的轉動動能E_k是原來的4倍，得到關系E_k=kω²．當砂輪的角速度增大為原來4倍時，砂輪的轉動動能E_k是原來的16倍，得到E_k與ω²成正比，則有關系式E_k=kω²．k是比例系數．將任一組數據比如：ω=1rad/s，E_k=2J，代入得到k=2J?s/rad，所以砂輪的轉動動能E_k與角速度ω的關系式是E_k=2ω²
（3）根據動能定理得
-f?n?πD=2ω₂²-2ω₁²
代入解得ω₂=2rad/s
故答案為：（1）0.5，2，8，18，32；
          （2）2ω²；
          （3）2rad/s
點評：本題考查應用動能定理解決實際問題的能力和應用數學知識處理物理問題的能力．注意摩擦力做功與路程有關．