Question

如圖所示，C、D為平行正對的兩金屬板，在D板右方一邊長為l=6.0cm的正方形區域內存在勻強磁場，該區域恰好在一對平行且正對的金屬板M、N之間，M、N兩板均接地，距板的右端L=12.0cm處放置一觀察屏．在C、D兩板間加上如圖乙所示的交變電壓，并從C板O處以每秒1 000個的頻率均勻的源源不斷地釋放出電子，所有電子的初動能均為E_k0=120eV，初速度方向均沿OO′直線，通過電場的電子從M、N的正中間垂直射入磁場．已知電子的質量為m=9.0×10^-31 kg，磁感應強度為B=6.0×10^-4 T．問：
（1）電子從D板上小孔O′點射出時，速度的最大值是多大？
（2）電子到達觀察屏（觀察屏足夠大） 上的范圍有多大？
（3）在u_CD變化的一個周期內，有多少個電子能到達觀察屏？

Answer 1

分析：（1）電子在CD間運動時，電場力做正功，動能增大，當U_CD=200 V時，粒子獲得最大速度，根據動能定理求解；
（2）電子進入磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供其向心力．速度最大時，軌跡半徑；速度最小時，軌跡半徑也最小．根據半徑公式r=

mv

qB

求出電子軌跡的最大半徑，畫出軌跡示意圖，由幾何知識求出電子軌跡的最小半徑，即可求得電子到達觀察屏（觀察屏足夠大） 上的范圍．
（3）先根據軌跡半徑公式求出半徑最小時，由動能定理求出CD間的電壓U_CD1．則在u_CD變化的一個周期內，即可時間與周期的關系求解．

解答：解：（1））當U_CD=200 V時，電子獲得最大速度v_max．由動能定理得：eU_CD=

1

2

m

v

2 max

-

1

2

m

v

2 0

得最大速度v_max=

32

3

×10⁶ m/s；
（2）電子在磁場中的最大半徑：R_max=

mvmax

eB

=10 cm
設電子在磁場中最大的偏轉角為θ₁，則有
  sinθ₁=

l

Rmax

=

3

5

在熒光屏上最小的偏轉距離為：
y_min=R_max（1-cosθ₁）+Ltanθ₁=11 cm．
最小半徑應滿足：

R

2 min

=l²+(Rmin-

1

2

)2
∴R_min=7.5 cm，sinθ₂=

1

Rmin

=

4

5

在熒光屏上最在的偏轉距離為：
y_max=

l

2

+Ltanθ₂=19 cm
∴電子到達觀察屏（觀察屏足夠大） 上的范圍為：△y=y_max-y_min=8 cm．
（3）電子的最小半徑為：R_min=

mvmin

eB

設對應的加速電壓為U_CD1．
根據動能定理得：eU_CD1=

1

2

m

v

2 min

-E_k0；
∴U_AB1=60 V
∴n=2

Um-UCD1

Um

×1000=2×

200-60

200

×1000=1400（個）
答：
（1）電子從D板上小孔O′點射出時，速度的最大值是

32

3

×10⁶ m/s；
（2）電子到達觀察屏（觀察屏足夠大） 上的范圍有8cm．
（3）在u_CD變化的一個周期內，有1400個電子能到達觀察屏．

點評：本題中根據動能定理求電子加速得到的速度，在磁場中，畫出電子的運動軌跡，運用幾何知識進行分析和計算相關的距離，都是常用的方法．