Question

（2013?南開區二模）如圖甲所示，長、寬分別為L₁、L₂的矩形金屬線框位于豎直平面內，其匝數為n，總電阻為r，可繞其豎直中心軸O₁O₂轉動．線框的兩個末端分別與兩個彼此絕緣的銅環C、D（集流環）焊接在一起，并通過電刷和定值電阻R相連．線框所在空間有水平向右均勻分布的磁場，磁感應強度B的大小隨時間t的變化關系如圖13乙所示，其中B₀、B₁和t₁均為已知．在0～t₁的時間內，線框保持靜止，且線框平面和磁場垂直；t₁時刻后線框在外力的驅動下開始繞其豎直中心軸以角速度ω勻速轉動．求：
（1）0～t₁時間內通過電阻R的電流大小；
（2）線框勻速轉動后，在轉動一周的過程中電流通過電阻R產生的熱量；
（3）線框勻速轉動后，從圖甲所示位置轉過90°的過程中，通過電阻R的電荷量．

Answer 1

分析：（1）先求出感應電動勢，再根據閉合電路歐姆定律求解電流；
（2）線框產生感應電動勢的最大值 E_m=

2

2

nB₁ L₁L₂ω，進而求出有效值，根據 Q=I²Rt即可求解在轉動一周的過程中電流通過電阻R產生的熱量；
（3）先求出平均電動勢，再求出平均電流，根據q=

.

I

t即可求解．

解答：解：（1）0～t₁時間內，線框中的感應電動勢 E=n

△φ

△t

=

nL1L2(B1-B0)

T1

根據閉合電路歐姆定律可知，通過電阻R的電流
I=

E

R+r

=

nL1L2(B1-B0)

(R+r)t1

（2）線框產生感應電動勢的最大值 E_m=

2

2

nB₁ L₁L₂ω
感應電動勢的有效值E=nB₁ L₁L₂ω
通過電阻R的電流 的有效值I=

2 nB1L1L2ω

2(R+r)

線框轉動一周所需的時間t=

2π

ω

此過程中，電阻R產生的熱量  Q=I²Rt=πRω
（3）線框從圖甲所示位置轉過90°的過程中，
平均感應電動勢

.

E

=n

△φ

△t

=

nB1L1L2

△t

  
平均感應電流  

.

I

=

nB1L1L2

△t(R+r)

通過電阻R的電荷量  q=

.

I

△t=

nB1L1L2

R+r

答：（1）0～t₁時間內通過電阻R的電流大小為

nL1L2(B1-B0)

(R+r)t1

；
（2）線框勻速轉動后，在轉動一周的過程中電流通過電阻R產生的熱量為πRω；
（3）線框勻速轉動后，從圖甲所示位置轉過90°的過程中，通過電阻R的電荷量為

nB1L1L2

R+r

．

點評：本題考查交變電流最大值、有效值的理解和應用的能力，對于交流電表的測量值、計算交流電功率、電功等都用到有效值，求電量時，I需要用平均值．