Question

（09年孝感三中調研）（14分）如圖是放置在豎直平面內游戲滑軌的模擬裝置，滑軌由四部分粗細均勻的金屬桿組成：水平直軌AB，半徑分別為R₁ =1.0m和R₂ = 3.0m的弧形軌道，傾斜直軌CD長為L = 6m且表面粗糙，動摩擦因數為μ=，其它三部分表面光滑， AB、CD與兩圓形軌道相切．現有甲、乙兩個質量為m=2kg的小球穿在滑軌上，甲球靜止在B點，乙球從AB的中點E處以v₀ =10m/s的初速度水平向左運動．兩球在整個過程中的碰撞均無能量損失。已知θ =37°，（取g= 10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：

（1）甲球第一次通過⊙O₂的最低點F處時對軌道的壓力；

（2）在整個運動過程中，兩球相撞次數；

（3）兩球分別通過CD段的總路程．

Answer 1

解析：（1）甲乙兩球在發生碰撞過程由動量守恒和能量守恒可得：

 

 

  

可得：  或    （舍去）

 

即交換速度。甲球從B點滑到F點的過程中，根據機械能守恒得：

 

 

在F點對滑環分析受力，得

 

由上面二式得 ：N

 

根據牛頓第三定律得滑環第一次通過⊙O₂的最低點F處時對軌道的壓力為N（5分）

 

（2）由幾何關系可得傾斜直軌CD的傾角為37°，甲球或乙球每通過一次克服摩擦力做功為：

 

 ，得J

 

    

分析可得兩球碰撞7次…………………………（5分）

 

（3）由題意可知得：滑環最終只能在⊙O₂的D點下方來回晃動，即到達D點速度為零，

 

由能量守恒得：

 

解得：滑環克服摩擦力做功所通過的路程m…………………………………（4分）

 

分析可得乙3次通過CD段，路程為18m，所以甲的路程為60m