Question

如圖所示，一束質量為m、電荷量為q的帶正電粒子從O點由靜止開始經過勻強電場加速后，均從邊界AN的中點P垂直于AN和磁場方向射入磁感應強度為B=

3

R

2mU q

的勻強磁場中．已知勻強電場的寬度為d=

1

2

R，勻強磁場由一個長為2R、寬為

1

2

R的矩形區域組成，磁場方向垂直紙面向里，粒子間的相互作用和重力均不計．
（1）若加速電場加速電壓為9U，求粒子在電磁場中運動的總時間；
（2）若加速電場加速電壓為U，求粒子在電磁場中運動的總時間．

Answer 1

分析：（1）根據動能定理求出粒子加速獲得的速度．由運動學公式求出加速的時間．粒子進入磁場后做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，根據牛頓第二定律和向心力公式求出軌跡半徑，畫出軌跡，由幾何知識確定軌跡對應的圓心角，即可求得磁場中運動時間，從而得到總時間．
（2）若加速電場加速電壓為U時，運用同樣的思路求出粒子電場中的運動時間和磁場中的軌跡半徑，畫出運動軌跡，根據運動情況，求解磁場中的時間．即可得到總時間．

解答：解：（1）若加速電場加速電壓為9U，由動能定理得：
    q?9U=

1

2

mv2，得 v=

18qU m

在磁場中，粒子做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：
   qvB=m

v2

r

又 B=

3

R

2mU q

解得，r=R
畫出粒子的運動軌跡如圖甲所示，由幾何關系可得，軌跡對應的圓心角為 θ=30°；
帶電粒子在磁場中運動的時間為 t_B=

θ

360°

T=

30°

360°

×

2πm

qB

=

πm

6qB

粒子在電場中做勻加速直線運動，則有：d=

1

2

R=

v

2

tE
解得，t_E=R

m 18qU

故粒子在電磁場中運動的總時間為 t_總=t_E+t_B=（

π

18

+

1

3

）R

m 2qU

（2）若加速電場加速電壓為U，由動能定理得：
 qU=

1

2

mv′2，得：v′=

2qU m

在磁場中，根據牛頓第二定律得：
 qv′B=m

v′2

r′

解得，r′=

R

3

分析可知粒子在磁場中運動的軌跡為一個半圓和四分之一圓周如圖乙所示，
帶電粒子在磁場中運動的周期為 T_B=

2πm

qB

，
則粒子在磁場中運動的時間為 t_B′=

3

4

T_B
分析可知粒子在電場中先加速后減速再加速，由運動學公式可得：t_E′=

R 2

v′ 2

=R

m 2qU

則粒子在電場中運動的時間為3t_B′=3R

m 2qU

故粒子在電磁場中運動的總時間為t′=t_B′+3t_B′=（2π+3）R

m 2qU

答：（1）若加速電場加速電壓為9U，粒子在電磁場中運動的總時間為（

π

18

+

1

3

）R

m 2qU

；
（2）若加速電場加速電壓為U，粒子在電磁場中運動的總時間（2π+3）R

m 2qU

．

點評：本題畫出帶電粒子的運動軌跡，由幾何知識求出軌跡對應的圓心角是解決本題的關鍵，根據時間與周期的關系求解磁場中運動時間是常規思路．