Question

如圖所示，有水平邊界的勻強磁場的磁感應強度為B，下方磁場無限大．一個質量為m、邊長為L、總電阻為R的正方形導線框abcd，從磁場上方某處由靜止開始下落．ab邊剛進入磁場時，線框速度的大小為V₁．下落過程中，線框平面始終保持在同一個豎直面內，ab邊與磁場的水平邊界線平行．在線框運動過程中，不計空氣阻力．重力加速度大小為g，求：
（1）線框ab邊距磁場上邊界距離h
（2）線框ab邊剛進入磁場時，線框中感應電流的大小和方向
（3）若線框cd邊剛要進入磁場時，線框的加速度大小為

g

4

，方向豎直向下，試求此時線框速度V₂的大小，并計算線框進入磁場過程中的焦耳熱．

Answer 1

分析：（1）線框自由下落的過程機械能守恒，則可求出高度h．
（2）線框ab邊剛進入磁場時，由E=BIL、I=

E

R

，即可求出感應電流的大小，根據右手定則判斷感應電流的方向．
（3）若線框cd邊剛要進入磁場時，線框的加速度大小為

g

4

，方向豎直向下，根據牛頓第二定律和安培力與速度的關系式，列式求出此時線框速度V₂的大小．
線框從開始下落到ab剛進入磁場時，線框的重力勢能減小mg（h+L），轉化為線框的動能和內能，根據能量守恒定律可求得線框在進入磁場的過程中產生的熱量

解答：解：（1）線框cd邊進入磁場時速度為V₁，由機械能守恒有：mgh=

1

2

mV

2 1

則得：h=

V 2 1

2g

（2）線框ab邊剛進入磁場時，產生的感應電動勢 E=BLV₁，
感應電流為：I=

E

R

得：I=

BLV1

R

根據右手定則得，感應電流的方向是a→b→c→d→a
（3）線框cd邊剛要進入磁場時，根據牛頓第二定律得：
mg-

B2L2V2

R

=ma，
由題意 a=

g

4

，
解得：V₂=

3mgR

4B2L2

又由能量守恒得：mgL=Q+

m V 2 2

2

-

m V 2 1

2

則得，線框進入磁場過程中的焦耳熱：Q=mgL+

m V 2 1

2

-

9m3g2R2

32

答：（1）線框ab邊距磁場上邊界距離h為

V 2 1

2g

．
（2）線框ab邊剛進入磁場時，線框中感應電流的大小為

BLV1

R

，方向是a→b→c→d→a．
（3）此時線框速度V₂的大小為

3mgR

4B2L2

，線框進入磁場過程中的焦耳熱為mgL+

m V 2 1

2

-

9m3g2R2

32

．

點評：本題是電磁感應與力學知識的綜合，安培力是聯系電磁感應和力學的橋梁，安培力的分析和計算是這類問題的關鍵．