Question

（2006?廣東模擬）鐵路轉彎處的彎道半徑r是根據地形決定的．彎道處要求外軌比內軌高，其內外軌高度差h的設計不僅與r有關，還取決于火車在彎道上的行駛速率．下圖表格中是鐵路設計人員技術手冊中彎道半徑r及與之對應的軌道的高度差h．

彎道半徑r/m	660	330	220	165	132	110
內外軌高度差h/mm	50	100	150	200	250	300

（1）根據表中數據，試導出h和r關系的表達式，并求出當r=440m時，h的設計值；
（2）鐵路建成后，火車通過彎道時，為保證絕對安全，要求內外軌道均不向車輪施加側向壓力，又已知我國鐵路內外軌的間距設計值為L=1435mm，結合表中數據，算出我國火車的轉彎速率v（以km/h為單位，結果取整數；路軌傾角很小時，正弦值按正切值處理）
（3）隨著人們生活節奏加快，對交通運輸的快捷提出了更高的要求．為了提高運輸力，國家對鐵路不斷進行提速，這就要求鐵路轉彎速率也需要提高．請根據上述計算原理和上述表格分析提速時應采取怎樣的有效措施？

Answer 1

分析：（1）由于660×50=330×100=220×150為定值即hr=33m²，故可以求出當r=440m時h的設計值；
（2）因為火車運動的軌跡圓沿水平方向，轉彎中，當內外軌對車輪沒有側向壓力時，軌道的支持力在豎直方向的分力平衡重力，在水平方向的分力恰好提供向心力，故有mgtanθ=m

v2

r

，再根據當θ很小，有：tanθ≈sinθ=

h

L

，即可求出火車轉彎的速率v．
（3）根據（2）中速率v的表達式即可找到可采取的有效措施．

解答：解：（1）分析表中數據可得，每組的h與r之乘積均等于常數
C=660m×50×10^-3m=33m²
因此    h?r=33（或h=33

1

r

）    ①
當r=440m時，有：
h=

33

440

m=0.075m=75mm                    
（2）轉彎中，當內外軌對車輪沒有側向壓力時，火車的受力如圖所示．由牛頓第二定律得：mgtanθ=m

v2

r

     ②
因為θ很小，有：tanθ≈sinθ=

h

L

       ③
由②，③可得：v=

ghr L

        ④
代入數據得：v=15m/s=54km/h
（3）由④式可知，可采取的有效措施有：
a．適當增大內外軌的高度差h；
b．適當增大鐵路彎道的軌道半徑r．
答：（1）當r=440m時，h的設計值為75mm；
（2）我國火車的轉彎速率v為54km/h；
（3）為了提速應采取的措施有：a．適當增大內外軌的高度差h；b．適當增大鐵路彎道的軌道半徑r．

點評：軌道的支持力在豎直方向的分力平衡重力，在水平方向的分力提供向心力，一定不能沿斜面和垂直于斜面分解重力，因為火車運動的軌跡圓沿水平方向而不是沿斜面方向．