Question

如圖，MN、PQ兩條平行的光滑金屬軌道與水平面成θ角固定，軌距為d．空間存在勻強磁場，磁場方向垂直軌道平面向上，磁感應強度為B．P、M間所接阻值為R的電阻．質量為m的金屬桿ad水平放置在軌道上，其有效電阻為r．現從靜止釋放ab，當它沿軌道下滑距離s時，達到最大速度．若軌道足夠長且電阻不計，重力加速度為g．求：
（1）金屬桿ab運動的最大速度；
（2）金屬桿ab運動的加速度為

1

2

gsinθ時，電阻R上電功率；
（3）金屬桿ab從靜止到具有最大速度的過程中，克服安培力所做的功．

Answer 1

分析：（1）當加速度為零時，金屬桿的速度達到最大，結合切割產生的感應電動勢公式、安培力大小公式、閉合電路歐姆定律和共點力平衡求出金屬桿的最大速度．
（2）根據牛頓第二定律，結合安培力大小公式求出電流的大小，從而根據功率的公式求出電阻R上的電功率．
（3）根據動能定理求出金屬桿ab從靜止到具有最大速度的過程中，克服安培力所做的功．

解答：解：（1）當桿達到最大速度時 F=mgsinθ
安培力F=BId
感應電流 I=

E

R+r

 
感應電動勢E=Bdv
解得最大速度vm=

mg(R+r)sinθ

B2d2

 
（2）當ab運動的加速度為

1

2

gsinθ時
根據牛頓第二定律mgsinθ-BId=m×

1

2

gsinθ
電阻R上的電功率P=I′²R
解得P=(

mgsinθ

2Bd

)2R
（3）根據動能定理mgs?sinθ-WF=

1

2

mvm2-0
解得WF=mgs?sinθ-

1

2

m3g2(R+r)2sin2θ

B4d4

．
答：（1）金屬桿ab運動的最大速度

mg(R+r)sinθ

B2d2

．
（2）金屬桿ab運動的加速度為

1

2

gsinθ時，電阻R上電功率(

mgsinθ

2Bd

)2R．
（3）金屬桿ab從靜止到具有最大速度的過程中，克服安培力所做的功為mgs?sinθ-

1

2

m3g2(R+r)2sin2θ

B4d4

點評：本題考查電磁感應與力學和能量的綜合，是高考的熱點問題，難度中等，需加強這方面的訓練．