Question

如圖所示，豎直平面內的軌道由一半徑為4R、圓心角為的圓形的光滑滑槽C₁和兩個半徑為R的半圓形光滑滑槽C₂、C₃以及一個半徑為2R的半圓形光滑圓管C₄組成，C₄內徑遠小于R。C₁、C₂、C₃、C₄各銜接處平滑連接。現有一個比C₄內徑略小的、質量為m的小球，從與C₄的最高點H等高的P點以一定的初速度向左水平拋出后，恰好沿C₁的A端點沿切線從凹面進入軌道。已知重力加速度為g。求：

（1）小球在P點開始平拋的初速度的大小；
（2）小球能否依次順利通過C₁、C₂、C₃、C₄各軌道而從I點射出？請說明理由；
（3）小球運動到何處，軌道對小球的彈力最大？最大值是多大？

Answer 1

（1） （2）能，見解析    （3）F 

解析試題分析：(1) 小球從P到A，豎直方向做自由落體運動：        （1分）
解得：          （1分）
在A點，由速度關系：        （1分）
求得：    （1分)
（2）若小球能過D點，則D點速度滿足，即     （1分）
小球從P到D由機械能守恒得：        （1分）
解得：   （1分）
若小球能過H點，則H點速度滿足:
小球從P到H由機械能守恒得：      （1分）
綜上所述小球能依次順利通過C1、C2、C3、C4各軌道從I點射出      （1分）
（3）小球在運動過程中，軌道給小球的彈力最大的點只會在圓軌道的最低點，B點和F點都有可能
小球從P到B由機械能守恒得：    （1分）
在B點軌道給小球的彈力滿足:       （1分）
解得：       （1分）
小球從P到F由機械能守恒得：        （1分）
在F點軌道給小球的彈力滿足:     （1分）
解得：       （1分）
比較B、F兩點的情況可知：F點軌道給小球的彈力最大，為                        （1分）
考點：本題考查平拋運動規律、圓周運動的臨界條件以及機械能守恒條件。