Question

（2011?天門模擬）如圖所示，在傾角為30°的光滑斜面上，一勁度系數為k的輕質彈簧一端固定在固定擋板C上，另一端連接一質量為m的物體A，一輕細繩通過定滑輪，一端系在物體A上，另一端有一細繩套，細繩與斜面平行，物體A處于靜止狀態．現在細繩套上輕輕掛上一個質量也為m的物體B，A將在斜面上做簡諧運動．試求：
（1）物體A的最大速度值．
（2）物體B下降到最低點時，細繩對物體B的拉力值．

Answer 1

分析：（1）未掛物體B時，對于物體A由平衡條件求出此時彈簧的壓縮量，掛B后A沿斜面向上做加速度減小的加速運動，當A加速度為0時，A速度最大，對AB分別根據平衡條件求出此時彈簧的伸長量，進而判斷在此過程中彈簧彈性勢能改變量，設最大速度為υ，對于A、B及彈簧組成的系統由機械能守恒即可求出A的最大速度值；
（2）分別對A在最高點時和B在最低點時運用牛頓第二定律求出繩子的拉力．

解答：解：（1）未掛物體B時，設彈簧壓縮量為x₁，對于物體A由平衡條件有：kx₁-mgsin30°=0
解得：x1=

mg

2k

①
掛B后A沿斜面向上做加速度減小的加速運動，當A加速度為0時，A速度最大，設此時彈簧伸長量為x₂，對于A由平衡條件有：T-kx₂-mgsin30°=0②
當A加速度為0時，B加速度也為0，對于B由平衡條件：T-mg=0③
由②③解得：x2=

mg

2k

因x₁與x₂相等，故在此過程中彈簧彈性勢能改變量△E=0④
設最大速度為υ，對于A、B及彈簧組成的系統由機械能守恒得：mg(x1+x2)-mg(x1+x2)sin30°=

1

2

mυ2⑤
將x₁、x₂代入⑤得：υ=

mg2 2k

（2）A做簡諧運動的振幅為x₁+x₂，A運動到最高點時彈簧的伸長量x=2x₂+x₁
A在最高點時，由牛頓第二定律：mgsin30°+kx-T'=ma
B在最低點時，由牛頓第二定律：T'-mg=ma
解得：T′=

3

2

mg
答：（1）物體A的最大速度為

mg2 2k

．
（2）物體B下降到最低點時，細繩對物體B的拉力為

3

2

mg．

點評：本題解題的關鍵是根據兩個物體的受力分析判斷運動情況，知道當A加速度為0時，A速度最大，此時AB受力都平衡，運動過程中A、B及彈簧組成的系統機械能守恒，難度適中．