Question

（1）如圖1，在光滑水平長(zhǎng)直軌道上，放著一個(gè)靜止的彈簧振子，它由一輕彈簧兩端各連接一個(gè)小球構(gòu)成，兩小球質(zhì)量相等．現(xiàn)突然給左端小球一個(gè)向右的速度u₀，求彈簧第一次恢復(fù)到自然長(zhǎng)度時(shí)，每個(gè)小球的速度．
（2）如圖2，將N個(gè)這樣的振子放在該軌道上，最左邊的振子1被壓縮至彈簧為某一長(zhǎng)度后鎖定，靜止在適當(dāng)位置上，這時(shí)它的彈性勢(shì)能為E₀．其余各振子間都有一定的距離，現(xiàn)解除對(duì)振子1的鎖定，任其自由運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它第一次恢復(fù)到自然長(zhǎng)度時(shí)，剛好與振子2碰撞，此后，繼續(xù)發(fā)生一系列碰撞，每個(gè)振子被碰后剛好都是在彈簧第一次恢復(fù)到自然長(zhǎng)度時(shí)與下一個(gè)振子相碰．求所有可能的碰撞都發(fā)生后，每個(gè)振子彈性勢(shì)能的最大值．已知本題中兩球發(fā)生碰撞時(shí)，速度交換，即一球碰后的速度等于另一球碰前的速度．

Answer 1

分析：（1）給左側(cè)小球一初速度，彈簧被壓縮后對(duì)兩個(gè)小球都有彈力，左側(cè)小球要減速，右側(cè)小球要加速，由于兩小球質(zhì)量相等，故加速度相等，故右側(cè)小球增加的速度等于左側(cè)小球減小的速度，當(dāng)速度相等時(shí)，彈簧被壓的最短，此后，右側(cè)小球進(jìn)一步加速，左側(cè)小球進(jìn)一步減速，當(dāng)彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，可以根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律列式求解出各個(gè)小球的速度；
（2）第一個(gè)彈簧振子在線斷開后，兩側(cè)小球分別向兩側(cè)加速，右側(cè)小球與第二個(gè)彈簧振子的左側(cè)小球碰撞后靜止，其動(dòng)量完全傳遞給了第二個(gè)彈簧振子的左側(cè)小球，此時(shí)第一個(gè)彈簧振子左側(cè)小球有向左的動(dòng)量，當(dāng)兩球速度相等時(shí)，第一個(gè)振子的彈簧最短，彈性勢(shì)能最大；根據(jù)第一題的分析，當(dāng)?shù)诙�個(gè)彈簧振子的左側(cè)小球速度為零時(shí)，其動(dòng)量完全轉(zhuǎn)移到第二個(gè)彈簧振子的右側(cè)小球，然后第二個(gè)彈簧振子的右側(cè)小球的動(dòng)量又轉(zhuǎn)移個(gè)下一個(gè)彈簧振子的左側(cè)小球，然后在轉(zhuǎn)移到右側(cè)小球，循環(huán)下去，一直轉(zhuǎn)移到最后一個(gè)彈簧振子的左側(cè)小球，最后一個(gè)彈簧振子系統(tǒng)不會(huì)與其他系統(tǒng)碰撞，一直向右運(yùn)動(dòng)，其內(nèi)部?jī)蓚�(gè)小球間動(dòng)量不斷的相互轉(zhuǎn)移，與第一問中彈簧振子的運(yùn)動(dòng)情況相同，當(dāng)兩球速度相等時(shí)，彈簧最短，彈性勢(shì)能最大．

解答：解：（1）設(shè)每個(gè)小球質(zhì)量為m，以u(píng)₁、u₂分別表示彈簧恢復(fù)到自然長(zhǎng)度時(shí)左右兩端小球的速度．
由動(dòng)量守恒和能量守恒定律有
mu₁+mu₂=mu₀（以向右為速度正方向）

1

2

m

u

2 1

+

1

2

m

u

2 2

=

1

2

m

u

2 0

解得u₁=u₀，u₂=0或u₁=0，u₂=u₀
由于振子從初始狀態(tài)到彈簧恢復(fù)到自然長(zhǎng)度的過程中，彈簧一直是壓縮狀態(tài)，彈性力使左端小球持續(xù)減速，使右端小球持續(xù)加速，因此應(yīng)該取解：u₁=0，u₂=u₀
即彈簧第一次恢復(fù)到自然長(zhǎng)度時(shí)，左側(cè)小球速度為0，右側(cè)小球速度為u₀．
（2）以v₁、v₁′分別表示振子1解除鎖定后彈簧恢復(fù)到自然長(zhǎng)度時(shí)左右兩小球的速度，規(guī)定向右為速度的正方向，
由動(dòng)量守恒和能量守恒定律，
mv₁+mv₁′=0

1

2

m

v

2 1

+

1

2

mv

′

2 1

=E0
解得
v1=

E0 m

，v1′=-

E0 m

或v1=-

E0 m

，v1′=

E0 m

在這一過程中，彈簧一直是壓縮狀態(tài)，彈性力使左端小球向左加速，右端小球向右加速，故應(yīng)取解：v1=-

E0 m

，v1′=

E0 m

振子1與振子2碰撞后，由于交換速度，振子1右端小球速度變?yōu)?，左端小球速度仍為v₁，此后兩小球都向左運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它們向左的速度相同時(shí)，彈簧被拉伸至最長(zhǎng)，彈性勢(shì)能最大，設(shè)此速度為v₁₀，根據(jù)動(dòng)量守恒定律：
2mv₁₀=mv₁
用E₁表示最大彈性勢(shì)能，由能量守恒有

1

2

m

v

2 10

+

1

2

m

v

2 10

+E1=

1

2

m

v

2 1

解得        
E1=

1

4

E0
振子2 被碰撞后瞬間，左端小球速度為

E0 m

，右端小球速度為0．以后彈簧被壓縮，當(dāng)彈簧再恢復(fù)到自然長(zhǎng)度時(shí)，根據(jù)（1）題結(jié)果，左端小球速度v₂=0，右端小球速度v2′=

E0 m

，與振子3碰撞，由于交換速度，振子2右端小球速度變?yōu)?，振子2靜止，彈簧為自然長(zhǎng)度，彈性勢(shì)能為E₂=0．
同樣分析可得
E₂=E₃=…E_N-1=0
振子N被碰撞后瞬間，左端小球速度 v′N-1=

E0 m

，右端小球速度為0，彈簧處于自然長(zhǎng)度．此后兩小球都向右運(yùn)動(dòng)，彈簧被壓縮，當(dāng)它們向右的速度相同時(shí)，彈簧被壓縮至最短，彈性勢(shì)能最大．此速度為v_N0，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，
2mv_N0=mv?_N-1
用E_N表示最大彈性勢(shì)能，根據(jù)能量守恒，有

1

2

m

v

2 N0

+

1

2

m

v

2 N0

+EN=

1

2

m

v

2 N-1

解得       
 EN=

1

4

E0
故所有可能的碰撞都發(fā)生后第一個(gè)彈簧振子的最大彈性勢(shì)能為

1

4

E0，第二個(gè)到第N-1個(gè)彈簧振子的最大彈性勢(shì)能為0，第N個(gè)彈簧振子的最大彈性勢(shì)能為

1

4

E0．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵在于第一小問中彈簧振子的運(yùn)動(dòng)，其系統(tǒng)重心向右勻速，兩球速度交替增加與減小，當(dāng)左側(cè)球速度為零時(shí)右側(cè)球速度最大，當(dāng)右側(cè)球速度為零時(shí)左側(cè)球速度最大；同時(shí)第二問中要能夠找到循環(huán)的過程和兩個(gè)非循環(huán)的過程．