Question

如圖所示，一質量M=2kg的長木板月靜止于光滑水平面上，B的右邊放有豎直擋板，現有一小物體A(可視為質點)質量m₂＝1kg，以速度v₀=6m／s從B的左端水平滑上B，已知A和B間的動摩擦因數μ＝0.2，B與豎直擋板的碰撞時間極短，且碰撞時無機械能損失.

(1)若B的右端距擋板s=4m，要使A最終不脫離B，則木板B的長度至少多長？

(2)若B的右端距擋板s=0.5m，要使A最終不脫離B，則木板B的長度至少多長？

Answer 1

解：(1)設A滑上B后達到共同速度前未碰到擋板，則根據動量守恒定律得它們的共同速度為v，有

mv₀＝(M+m)v，解得v=2m／s，在這一過程中，B的位移為s_B=／2a_B且a_B=μmg／M，解得s_B＝Mv²／2μmg=2×2²／2×0.2×1×10=2 m.

設這一過程中，A，B的相對位移為s₁，根據系統的動能定理，得

μmgs₁=(1／2)m-(1／2)(M+m)v²，解得s₁=6m.

當s＝4m時，A，B達到共同速度v=2m／s后再勻速向前運動2m碰到擋板，B碰到豎直擋板后，根據動量守恒定律得A，B最后相對靜止時的速度為v′，則Mv-mv=(M+m)v′，解得v′=(2／3)m／s.

在這一過程中，A，B的相對位移為s₂，根據系統的動能定理，得

μmgs₂＝(1／2)(M+m)v²-(1／2)(M+m)v′²，解得s₂=2.67 m

因此，A，B最終不脫離的木板最小長度為s₁+s₂＝8.67 m.

(2)因B離豎直擋板的距離s=0.5 m＜2 m，所以碰到擋板時，A，B未達到相對靜止，此時B的速度v_B為＝2a_Bs＝(2μmg／M)s，解得v_B＝1 m／s，

設此時A的速度為v_A，根據動量守恒定律，得mv₀=Mv_B+mv_A，解得v_A=4 m／s，

設在這一過程中，A，B發生的相對位移為s₁′，根據動能定理得：μmgs₁′=(1／2)m-[(1／2)m+(1／2)M]，解得s₁′＝4.5m.

B碰撞擋板后，A，B最終達到向右的相同速度v，

根據動能定理得mv_A-Mv_B=(M+m)v，

解得v＝(2／3)m／s.

在這一過程中，A，B發生的相對位移s₂′為μmgs₂′=(1／2)m+(1／2)(M+m)v²，

解得s₂′＝(25／6)m.

B再次碰到擋板后，A，B最終以相同的速度v′向左共同運動，根據動量守恒定律，得Mv-mv=(M+m)v′，解得v′＝(2／9)m／s.

在這一過程中，A，B發生的相對位移s₃′為：μmgs₃′＝(1／2)(M+m)v²-(1／2)(M+m)v′²，

解得s₃′=(8／27)m.

因此，為使A不從B上脫落，B的最小長度為s₁′+s₂′+s₃′＝8.96 m.