Question

在光滑絕緣的水平臺面上，存在平行于水平面向右的勻強電場，電場強度為E。水平臺面上放置兩個靜止的小球A和B（均可看作質點），兩小球質量均為m，A球帶電荷量為+Q，B球不帶電，A、B連線與電場線平行。開始時兩球相距L，在電場力作用下，A球開始運動（此時為計時零點，即t=0），后與B球發生對心碰撞，碰撞過程中A、B兩球總動能無損失且速度互換。設在各次碰撞過程中，A、B兩球間無電量轉移，且不考慮兩球碰撞時間及兩球間的萬有引力。
（1）第一次碰撞結束瞬間A、B兩球的速度各為多大？
（2）分別在甲、乙坐標系中，用實線作出A、B兩球從計時零點到即將發生第三次碰撞這段過程中的v-t圖像。要求寫出必要的演算推理過程。
（3）從計時零點到即將發生第三次碰撞這段過程中電場力共做了多少功？
(4)兩球從第N次碰撞到第N+1次碰撞時間內A球所通過的路程
（5）若要求A在運動過程中對桌面始終無壓力且剛好不離開水平桌面（v=0時刻除外），可以在水平面內加一與電場正交的磁場。請寫出A從開始運動到第三次與B碰撞前這段時間內磁場與時間t的函數關系�！。ú豢紤]相對論效應）

Answer 1

（1） A球的加速度 碰前A的速度， 碰前B的速度 A、 B碰撞后交換速度，設碰后A、B球速度分別為、 ， （2）只要求推理說明基本正確（以下過程供參考） A、B球發生第一次、第二次、第三次的碰撞時刻分別為、、 則 第一次碰后，經時間A、B兩球發生第二次碰撞，設碰前瞬間A、B兩球速度分別為和 得：

′

第二次碰后瞬間，A、B兩球速度分別為和，經時間A、B兩球發生第三次碰撞，并設碰前瞬間A、B兩球速度分別為和則 當 發生第三次碰撞， 易得

（3）由（2）問中所求的物理量，得 (4)由第2問可類推第n次碰前A速度為：

故第n次與第n+1次碰撞經歷時間為：

第n次碰后B以速度勻速運動，故該時間內A通過的路程為： （5）對A球由平衡條件得 且。 解得 從A開始運動到發生第一次碰撞 從第一次碰撞到發生第二次碰撞