Question

如圖所示，一個帶有圓弧的粗糙滑板A，質量為m_a=3 kg，其圓弧部分與水平部分相切于P，水平部分PQ長為L=3.75 m.開始時A靜止在光滑水平面上，有一質量為m_B=2 kg的小木塊B從滑板A的右端以水平初速度v₀=5 m/s滑上A，小木塊B與滑板A之間的動摩擦因數為μ=0.15,小木塊B滑到滑板A的左端并沿著圓弧部分上滑一段弧長后返回，最終停止在滑板A上.

（1）求A、B相對靜止時的速度大小；

（2）若B最終停在A的水平部分上的R點，P、Q相距1 m，求B在圓弧上運動過程中因摩擦而產生的內能；

（3）若圓弧部分光滑，且除v₀不確定外其他條件不變，討論小木塊B在整個運動過程中，是否有可能在某段時間里相對地面向右運動.如不可能，說明理由；如可能，試求出B既能向右滑動，又不滑離木板A的v₀取值范圍.（取g=10 m/s²,結果可保留根號）

Answer 1

（1）小木塊B從開始運動直到A、B相對靜止的過程中，系統水平方向上動量守恒，

    故有m_Bv₀=(m_B+m_A)v                                                       ①

    解得v=v₀=2 m/s.                                                        ②

（2）B在A的圓弧部分的運動過程中，它們之間因摩擦產生的內能為Q₁，B在A的水平部分往返的運動過程中，它們之間因摩擦產生的內能為Q₂，由能量關系得到

    m_Bv₀²=(m_B+m_A)v²+Q₁+Q₂                                               ③

    Q₂=μm_Bg·(L_QP+L_PR)                                                      ④

    Q₁=m_Bv₀²-(m_B+m_A)v²-μm_Bg(L_QP+L_PR)=0.75 J.                              ⑤

（3）設小木塊B下滑到P點時速度為v_b，同時A的速度為v_a,由動量守恒和能量關系可得

    m_Bv₀=m_Bv_B+m_Av_A                                                         ⑥

    m_Bv₀²=m_Bv_B²+m_Av_A²+μm_BGl                                         ⑦

    由⑥⑦兩式可以得到5v_B²-4v₀v_B-v₀²+0.9gL=0,令v_B=＜0,化簡后為v₀²＞0.9gL                                                                 ⑧

    若要求B最終不滑離A，由能量關系得

    μm_Bg·2L≥m_Bv₀²-(m_B+m_A)v²                                         ⑨

    化簡得v₀²≤Gl                                                           ⑩

    故B既能對地向右滑動，又不滑離A的條件為0.9gL＜v₀²≤gL                  11

    即m/s＜v₀≤ m/s(5.8 m/s＜v≤6.1 m/s.                   12