Question

如圖（甲）所示為一種研究高能粒子相互作用的裝置，兩個直線加速器均由k個長度逐個增長的金屬圓筒組成（整個裝置處于真空中，圖中只畫出了6個圓筒，作為示意），它們沿中心軸線排列成一串，各個圓筒相間地連接到正弦交流電源的兩端．設金屬圓筒內部沒有電場，且每個圓筒間的縫隙寬度很小，帶電粒子穿過縫隙的時間可忽略不計．為達到最佳加速效果，需要調節至粒子穿過每個圓筒的時間恰為交流電的半個周期，粒子每次通過圓筒間縫隙時，都恰為交流電壓的峰值．質量為m、電荷量為e的正、負電子分別經過直線加速器加速后，從左、右兩側被導入裝置送入位于水平面內的圓環形真空管道，且被導入的速度方向與圓環形管道中粗虛線相切．在管道內控制電子轉彎的是一系列圓形電磁鐵，即圖中的A₁、A₂、A₃…A_n，共n個，均勻分布在整個圓周上（圖中只示意性地用細實線畫了幾個，其余的用細虛線表示），每個電磁鐵內的磁場都是磁感應強度均相同的勻強磁場，磁場區域都是直徑為d的圓形．改變電磁鐵內電流的大小，就可改變磁場的磁感應強度，從而改變電子偏轉的角度．經過精確的調整，可使電子在環形管道中沿圖中粗虛線所示的軌跡運動，這時電子經過每個電磁鐵時射入點和射出點都在圓形運強磁場區域的同一條直徑的兩端，如圖（乙）所示．這就為實現正、負電子的對撞作好了準備．
（1）若正、負電子經過直線加速器后的動能均為E₀，它們對撞后發生湮滅，電子消失，且僅產生一對頻率相同的光子，則此光子的頻率為多大？（已知普朗克恒量為h，真空中的光速為c．）
（2）若電子剛進入直線加速器第一個圓筒時速度大小為v₀，為使電子通過直線加速器后速度為v，加速器所接正弦交流電壓的最大值應當多大？
（3）電磁鐵內勻強磁場的磁感應強度B為多大？

Answer 1

分析：（1）電子泯滅后產生的光子能量為：E=E0+mc2，再由光子能量表達式E=hv可以解出結果．
（2）這里有個易錯點是經過k個圓筒其縫隙個數不是k個而是（k-1）個．這點錯不了這一問就沒問題．
（3）這個需要畫粒子在磁場中圓周運動的圖象，由此來找半徑和圓心角的關系，結合圓周運動中適當的關于半徑的表達式，可以解得結果．可以說圖象在粒子在磁場中的圓周運動問題當中至關重要，本題中由于導體管道里面有n個圓形磁鐵，所以每個對應的圓心角就是

2π

n

．然后結合具體圖象，可以得到圓心角和半徑的關系式．至此問題就基本解決．

解答：解：（1）一對正、負電子對撞后湮滅產生一對光子，所以一個光子的能量與一個電子的能量相等，即每個光子的能量為E=E₀+mc²
設光子的頻率為γ，則上式可寫作：hγ=E0+mc2
解得：γ=（E₀+mc²）

1

h

．
（2）電子在直線加速器中，經過k個圓筒間的（k-1）個縫隙間的電場后，時共經歷（k-1）次加速，每當電子運動至筒間縫隙時交流電壓的瞬時值應為最大值U_m
根據動能定理
(k-1)eUm=

1

2

mv2-

1

2

mv02

解得U_m=

m(v2-v02)

2e(k-1)

（3）設電子經過1個電磁鐵的圓形磁場區時偏轉角度為θ，則 θ=

2π

n

由圖可知，電子射入勻強磁場區時與通過射入點的直徑夾角為

1

2

θ
電子在勻強磁場區域內作圓運動，洛侖茲力提供向心力
evB=

mv2

R

解得：R=

mv

Be

根據幾何關系   sin

θ

2

=

d

2R

解得  B=

2mvsin π n

de

答：（1）光子的頻率為v═(E0+mc2)/h
（2）正弦交流電壓的最大值Um=

m(v2- v 2 0 )

2e(k-1)

（3）電磁鐵內勻強磁場的磁感應強度B=

2mvsin π n

de

點評：本題題目描述很繁雜，看上去難度很大，但是越是這樣的往往越簡單，因為它描述的多已知量相應就多，過程相應就比較詳盡，這有助于我們解題，所以遇見這樣看似很難的題目不要慌張，仔細讀完，梳理出題目的各個過程，各個量的關系，然后建立起物理模型，然后選擇相應的物理規律，定律，定理，一般都能解決．