Question

(25分)如圖所示，兩個(gè)金屬輪A₁、A₂，可繞通過(guò)各自中心并與輪面垂直的固定的光滑金屬軸O₁和O₂轉(zhuǎn)動(dòng)，O₁和O₂相互平行，水平放置.每個(gè)金屬輪由四根金屬輻條和金屬環(huán)組成，A₁輪的輻條長(zhǎng)為a₁、電阻為R₁，A₂輪的輻條長(zhǎng)為a₂、電阻為R₂，連接輻條的金屬環(huán)的寬度與電阻都可以忽略.半徑為a₀的絕緣圓盤D與A₁同軸且固連在一起.一輕細(xì)繩的一端固定在D邊緣上的某點(diǎn)，繩在D上繞足夠匝數(shù)后，懸掛一質(zhì)量為m的重物P.當(dāng)P下落時(shí)，通過(guò)細(xì)繩帶動(dòng)D和A₁繞O₁軸轉(zhuǎn)動(dòng).轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，A₁、A₂保持接觸，無(wú)相對(duì)滑動(dòng)；兩輪與各自細(xì)軸之間保持良好的電接觸；兩細(xì)軸通過(guò)導(dǎo)線與一阻值為R的電阻相連.除R和A₁、A₂兩輪中輻條的電阻外，所有金屬的電阻都不計(jì).整個(gè)裝置處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向與轉(zhuǎn)軸平行.現(xiàn)將P釋放，試求P勻速下落時(shí)的速度.

Answer 1

解析：

P被釋放后，細(xì)繩的張力對(duì)D產(chǎn)生機(jī)械力矩，帶動(dòng)D和A₁作逆時(shí)針的加速轉(zhuǎn)動(dòng).通過(guò)兩個(gè)輪子之間無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的接觸，A₁帶動(dòng)A₂作順時(shí)針的加速轉(zhuǎn)動(dòng).由于兩個(gè)輪子的輻條切割磁場(chǎng)線，所以在A₁產(chǎn)生由周邊沿輻條指向軸的電動(dòng)勢(shì)，在A₂產(chǎn)生由軸沿輻條指向周邊的電動(dòng)勢(shì)，經(jīng)電阻R構(gòu)成閉合電路.A₁、A₂中各輻條上流有沿電動(dòng)勢(shì)方向的電流，在磁場(chǎng)中輻條受到安培力.不難看出，安培力產(chǎn)生的電磁力矩是阻力矩，使A₁、A₂加速轉(zhuǎn)動(dòng)的勢(shì)頭減緩.A₁、A₂從起始的靜止?fàn)顟B(tài)逐漸加速轉(zhuǎn)動(dòng)，電流隨之逐漸增大，電磁阻力矩亦逐漸增大，直至電磁阻力矩與機(jī)械力矩相等，D、A₁和A₂停止作加速轉(zhuǎn)動(dòng)，均作勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)P勻速下落，設(shè)其速度為v，則A₁的角速度

　　　　(1)

　　A₁帶動(dòng)A₂轉(zhuǎn)動(dòng)，A₂的角速度ω₂與A₁的角速度ω₁之間的關(guān)系為

　　ω₁a₁=ω₂a₂　　(2)

　　A₁中每根輻條產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)均為

　　　　(3)

　　軸與輪邊之間的電動(dòng)勢(shì)就是A₁中四條輻條電動(dòng)勢(shì)的并聯(lián)，其數(shù)值見(jiàn)(3)式.

　　同理，A₂中，軸與輪邊之間的電動(dòng)勢(shì)就是A₂中四條輻條電動(dòng)勢(shì)的并聯(lián)，其數(shù)值為

　　　　(4)

　　A₁中，每根輻條的電阻為R₁，軸與輪功之間的電阻是A₁中四條輻條電阻的并聯(lián)，其數(shù)值為    　　(5)

　　A₂中，每根輻條的電阻為R₂，軸與輪功之間的電阻是A₂中四條輻條電阻的并聯(lián)，其數(shù)值為    　　(6)

　　A₁輪、A₂輪和電阻R構(gòu)成串聯(lián)回路，其中的電流為

　　　　(7)

　　以(1)至(6)式代入(7)式，得

　　　　(8)

　　當(dāng)P勻速下降時(shí)，對(duì)整個(gè)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，重力的功率等于所有電阻的焦耳熱功率之和，即

　　　　(9)

　　以(8)式代入(9)式得

　　　　(10)

　　評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：(本題25分)

　　(1)、(2)式各2分，(3)、(4)式各3分，(5)、(6)、(7)式各2分，(9)式6分，(10)式3分.