Question

神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測(cè)雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律．天文學(xué)家觀測(cè)河外星系大麥哲倫云時(shí)，發(fā)現(xiàn)了LMCX-3雙星系統(tǒng)，它由可見星A和不可見的暗星B構(gòu)成．兩星視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其它星體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的距離保持不變，如圖18所示．引力常量為G，由觀測(cè)能夠得到可見星A的速率v和運(yùn)行周期T．

小題1:可見星A所受暗星B的引力F_A可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為的星體（可視為質(zhì)點(diǎn)）對(duì)它的引力，設(shè)A和B的質(zhì)量分別為m₁、m₂，試求（用m₁、m₂表示）；
小題2:求暗星B的的質(zhì)量m₂與可見星A的速率v、運(yùn)行周期T和質(zhì)量m₁之間的關(guān)系式；
小題3:恒星演化到末期，如果其質(zhì)量大于太陽(yáng)質(zhì)量m_s的2倍，它將有可能成為黑洞．若可見星A的速率，運(yùn)行周期，質(zhì)量m₁=6m_s，試通過(guò)估算來(lái)判斷暗星B有可能是黑洞嗎？  圖18
（，）

Answer 1

小題1:
小題2:
小題3:可能是

小題1:設(shè)A、B的軌道半徑分別為r₁、r₂，它們做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T、角速度ω都相同，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律有 即
A、B之間的距離 根據(jù)萬(wàn)有引力定律
得
小題2:對(duì)可見星A有 其中 得：
小題3:）設(shè)m₂= nm（n>0），并根據(jù)已知條件m₁=6m_s，及相關(guān)數(shù)據(jù)代入上式得
 由數(shù)學(xué)知識(shí)知在n>0是增函數(shù)
當(dāng)n=2時(shí)， 所以一定存在n>2，即m₂>2m_s，可以判斷暗星B可能是黑洞．