Question

（2013?海淀區一模）一般來說，正常人從距地面1.5m高處跳下，落地時速度較小，經過腿部的緩沖，這個速度對人是安全的，稱為安全著地速度．如果人從高空跳下，必須使用降落傘才能安全著陸，其原因是，張開的降落傘受到空氣對傘向上的阻力作用．經過大量實驗和理論研究表明，空氣對降落傘的阻力f與空氣密度ρ、降落傘的迎風面積S、降落傘相對空氣速度v、阻力系數c有關（由傘的形狀、結構、材料等決定），其表達式是f=

1

2

cρSv²．根據以上信息，解決下列問題．（取g=10m/s²）
（1）在忽略空氣阻力的情況下，計算人從1.5m高處跳下著地時的速度大小（計算時人可視為質點）；
（2）在某次高塔跳傘訓練中，運動員使用的是有排氣孔的降落傘，其阻力系數c=0.90，空氣密度取ρ=1.25kg/m³．降落傘、運動員總質量m=80kg，張開降落傘后達到勻速下降時，要求人能安全著地，降落傘的迎風面積S至少是多大？
（3）跳傘運動員和降落傘的總質量m=80kg，從h=65m高的跳傘塔上跳下，在下落過程中，經歷了張開降落傘前自由下落、張開降落傘后減速下落和勻速下落直至落地三個階段．如圖是通過固定在跳傘運動員身上的速度傳感器繪制出的從張開降落傘開始做減速運動至達到勻速運動時的v-t圖象．根據圖象估算運動員做減速運動的過程中，空氣阻力對降落傘做的功．

Answer 1

分析：（1）在忽略空氣阻力的情況下，人做自由落體運動，由運動學公式求解人著地時的速度大小；
（2）由（1）求出人安全著陸的速度大小，張開降落傘后達到勻速下降時，空氣阻力大小等于運動員的重力，根據平衡條件和f=

1

2

cρSv²結合可求出降落傘的迎風面積S；
（3）由v-t圖讀出，降落傘張開時運動員的速度大小和運動員收尾速度大小，由v-t圖線和時間軸所圍面積求得在0～3s時間內運動員下落高度，由動能定理求解空氣阻力對降落傘做的功．

解答：解：（1）設人從1.5m高處跳下著地時的安全速度大小為v₀，則有

v

2 0

=2gh
得  v0=

2gh

=

30

m/s=5.5m/s
（2）由（1）可知人安全著陸的速度大小為

30

m/s，跳傘運動員在空中勻速下降時空氣阻力大小等于運動員的重力，則有
 mg=

1

2

cρSv2
解得 S=

2mg

cρv2

=

2×80×10

0.9×1.25×30

m²=47.4m²
（3）設空氣阻力對降落傘做功為W_f，由v-t圖可知，降落傘張開時運動員的速度大小v₁=20m/s，運動員收尾速度即勻速直線運動的速度v₂=5.0m/s，設在這段時間內運動員下落的高度為h，根據動能定理
mgh+W_f=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

得 W_f=-mgh+

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

由v-t圖線和時間軸所圍面積可知，在0～3s時間內運動員下落高度h=25m
帶入數據解得W=-3.5×10⁴J
答：（1）人從1.5m高處跳下著地時的速度大小是5.5m/s；
（2）要求人能安全著地，降落傘的迎風面積S至少是47.4m²；
（3）運動員做減速運動的過程中，空氣阻力對降落傘做的功是-3.5×10⁴J．

點評：本題首先要有耐心讀題，獲取有效信息，其次，通過分析運動過程，把握每個過程遵守的規律，實質是運動學公式和動能定理的綜合應用．