Question

如圖所示，水平軌道AB與位于豎直面內半徑為R的半圓形光滑軌道BCD相連，半圓形軌道的BD連線與AB垂直．質量為m可看作質點的小滑塊在恒定外力作用下從水平軌道上的A點由靜止開始向左運動，到達水平軌道的末端B點時撤去外力，小滑塊繼續沿半圓形軌道運動，且恰好能通過軌道最高點D，滑塊脫離半圓形軌道后又剛好落到A點．已知重力加速度為g，求：
（1）滑塊通過D點的速度大小．
（2）滑塊經過B點進入圓形軌道時對軌道壓力的大小．
（3）滑塊在AB段運動過程中的加速度大小．

Answer 1

分析：（1）小滑塊繼續沿半圓形軌道運動，且恰好能通過軌道最高點D，可知此時重力提供向心力，由牛頓第二定律列方程求解滑塊通過D點的速度
（2）從B到D應用機械能守恒定律，結合第一問的結果可得B點的速度，在此位置應用牛頓第二定律列方程可得軌道對物體的彈力，應用牛頓第三定律得到物體對軌道的壓力
（3）物體從D點后改做平拋運動，由平拋規律可得AB間的水平距離，應用勻變速運動規律可得滑塊在AB段運動過程中的加速度大小

解答：解：（1）設滑塊恰好通過最高點D的速度為v_D，根據牛頓第二定律有
mg=

mv 2 D

R

解得：vD=

gR

（2）滑塊自B點到D點的過程機械能守恒，設滑塊在B點的速度為v_B，則有：

1

2

mv

2 B

=

1

2

mv

2 D

+2mgR
解得：

v

2 B

=5gR
設滑塊經過B點進入圓形軌道時所受的支持力為N_B，根據牛頓第二定律有
 NB-mg=

mv 2 B

R

  
  解得：N_B=6mg
由牛頓第三定律可知，滑塊經過B點時對軌道的壓力大小N_B′=6mg
（3）對于滑塊自D點平拋到A點，設其時間為t，則有：
2R=

1

2

gt²
s_AB=v_Dt
解得：s_AB=2R
設滑塊由A點到B點的過程中加速度為a，則有  

v

2 B

=2asAB
解得：a=

5g

4

答：（1）滑塊通過D點的速度為

gR

（2）滑塊經過B點進入圓形軌道時對軌道壓力的大小為6mg
（3）滑塊在AB段運動過程中的加速度大小

5g

4

點評：①物體恰好通過D點是本題的突破口，這一點要注意把握；
②題目要求滑塊經過B點進入圓形軌道時對軌道的壓力大小而根據物體在B點的運動情況所求的是軌道對物體的支持力，故運動別忘記“由牛頓第三定律求解滑塊在B點對軌道的壓力