Question

如圖所示，傾角θ=37°的固定斜面AB長L=18.4m，質量為M=1kg的木塊由斜面中點C從靜止開始下滑，0.5s后被一顆質量為m=20g的子彈以v₀=500m/s沿斜面向上的速度正對射入并穿出，穿出速度u=200m/s．以后每隔1.0s就有一顆子彈射入木塊，設子彈射穿木塊的時間極短，且每次射入木塊對子彈的阻力相同．已知木塊與斜面間的動摩擦因數μ=0.25，g取10m/s²，sin37°=0.60，cos37°=0.80，求：
（1）在被第二顆子彈擊中前，木塊沿斜面向上運動離A點的最大距離？
（2）木塊在斜面上最多能被多少顆子彈擊中？
（3）在木塊從C點開始運動到最終離開斜面的過程中，子彈、木塊和斜面一系統所產生的熱能是多少？

Answer 1

分析：（1）由牛頓第二定律可求得木塊下滑的加速度，由位移公式即可求得下滑的位移及末速度；由動量守恒定律可求得木塊穿過木塊的速度，由運動學公式可求得木塊向上運動離A點的距離；
（2）當滑塊滑出斜面后子彈就不再打中木塊，由運動學過程可以分析有幾塊子彈打中木塊；
（3）由功能關系可得出子彈穿過木塊時內能的增加量，再求出摩擦力做功增加的內能，即可求出總的內能的增加量．

解答：解：（1）木塊下滑時加速度為a₁，根據牛頓第二定律，有：
a1=

Mgsinθ-μMgcosθ

M

=g(sinθ-μcosθ)=4m/s2
木塊下滑0.5s時速度為v₁，根據速度時間關系公式，有：
v₁=a₁t₁=4×0.5=2.0m/s
木塊下滑的距離為：
s1=

1

2

a1t12=0.5m
子彈穿出木塊后，木塊速度v₂，根據動量守恒定律，有：
mv₀-Mv₁=mu+Mv₂
解得：v2=

m(v0-u)-Mv1

M

=4m/s
木塊上滑時加速度為a₂，根據牛頓第二定律，有：
a2=

Mgsinθ+μMgcosθ

M

=g(sinθ+μcosθ)=8m/s2
木塊上滑的距離為：s2=

v22

2a2

=1.0m
在被第二顆子彈擊中前，木塊沿斜面向上運動離A點的最大距離d=

L

2

-s1+s2=9.7m
（2）木塊上滑的時間t2=

v2

a2

=0.5s
因為子彈射入木塊的時間間隔△t=1.0s，所以木塊上滑1.0m后再下滑，0.5s后子彈射又入木塊，以后的運動重復：每次木塊上滑1.0m后再下滑0.5m，第18顆子彈穿射木塊后，木塊上滑1.0m后再下滑0.5m時離A點的距離17.7m，離B點的距離0.7m，第19顆子彈射穿木塊后，木塊沿斜面上滑到離開斜面，木塊在斜面上最多能被19顆子彈擊中．
（3）每次子彈穿射木塊，產生的熱能相同，根據能量守恒定律，有：
E1=(

1

2

Mv12+

1

2

mv02)-(

1

2

mu2+

1

2

Mv22)=2094J
每次木塊下滑0.5m產生的熱能E₂=μMgcosθs₁=1J
每次木塊上滑1.0m產生的熱能E₃=μMgcosθs₂=2J
第19顆子彈射穿木塊后，木塊沿斜面上滑到離開斜面產生的熱能E₄=μMgcosθ×0.7=1.4J
子彈、木塊和斜面一系統所產生的總熱能是：
E_總=19E₁+19E₂+18E₃+E₄=19×2094+19×1+18×2+1.4=39842.4J
答：（1）在被第二顆子彈擊中前，木塊沿斜面向上運動離A點的最大距離為9.7m；
（2）木塊在斜面上最多能被19顆子彈擊中；
（3）在木塊從C點開始運動到最終離開斜面的過程中，子彈、木塊和斜面系統所產生的熱能是39842.4J．

點評：本題考查動量定理、運動學公式及牛頓第二定律等，屬于較為復雜的綜合題，此類問題要注意認真分析題意，分析各過程中．物體的運動情況，從而確定正確的物理規律．