Question

（2009?中山市模擬）如圖，一個帶有1/4圓弧的粗糙滑板A，總質量為m_A=3kg，其圓弧部分與水平部分相切于D點，水平部分DQ長為L=3.75m，開始時，A靜止在光滑水平面上，有一質量m_B=2kg的小木塊B從滑板A的右端以水平初速度v₀=5m/s滑上A，小木塊B與滑板A的動摩擦因數為μ=0.15，小木塊滑到滑板A的左端，并沿圓弧部分向上滑行一段距離后返回，最終停在滑板A的水平部分上
（1）求A、B相對靜止時速度的大小；
（2）若B最終停在A的水平部分C點，L_DC=1m，求B在圓弧上運動的過程中，因摩擦產生的熱量；
（3）若圓弧部分光滑，且除v₀不確定外，其他條件不變，試解出B在水平部分既能對地向右滑動，又不滑離滑板A的v₀的取值范圍（g=10m/s²，結果可保留根號）．

Answer 1

分析：根據動量守恒定律列出等式解決問題．
由于機械能轉化成內能，根據能量守恒列出等式解決問題．

解答：解：（1）小木塊B從開始運動直到A、B相對靜止的過程中，系統水平方向上動量守恒，有
m_Bv₀=（m_B+m_A）v     
解得 v=2 m/s       
（2）B在A的圓弧部分的運動過程中，它們之間因摩擦產生的內能為Q₁，B在A的水平部分往返的運動過程中，它們之間因摩擦產生的內能為Q₂，由能量關系得到

1

2

m_Bv₀²=

1

2

（m_B+m_A）v²+Q₁+Q₂  
Q₂=μm_Bg（L_QP+L_PR）
Q₁=

1

2

m_Bv₀²-

1

2

（m_B+m_A）v²-μm_Bg（L_QP+L_PR）=0.75J
（3）設小木塊B下滑到P點時速度為v_B，同時A的速度為v_A，由動量守恒和能量關系可以得到     
m_Bv₀=m_Bv_B+m_Av_A

1

2

m_Bv₀²=

1

2

m_Bv_B²+

1

2

m_Av_A²+μm_BgL
得5v_B²-4v₀v_B-v₀²+0.9gL=0，令
v_B=

4v02- 36v02-18gL

10

＜0，
化簡后為v₀²＞0.9gL
若要求B最終不滑離A，由能量關系必有
μm_Bg?2L≥

1

2

m_Bv₀²-

1

2

（m_B+m_A）v²
  化簡得 v₀²≤gL
故B既能對地向右滑動，又不滑離A的條件為
5.8m/s＜v₀≤6.1m/s
答：（1）求A、B相對靜止時速度的大小為2 m/s；
（2）B在圓弧上運動的過程中，因摩擦產生的熱量為0.75J；
（3）B在水平部分既能對地向右滑動，又不滑離滑板A的v₀的取值范圍為5.8m/s＜v₀≤6.1m/s

點評：解決問題首先要清楚研究對象的運動過程，我們要清楚運動過程中能量的轉化，以便從能量守恒角度解決問題．把動量守恒和能量守恒結合起來列出等式求解是常見的問題．