Question

如圖所示，在平面直角坐標系xoy的0≤x≤2L、0≤y≤L區域內存在沿y軸正向的勻強電場，一質量為m，電荷量為q，不計重力，帶正電的粒子以速度v₀從坐標原點O沿x軸正向射入電場后，恰好從M（2L，L）點離開電場，粒子離開電場后將有機會進入一個磁感應強度大小為B=

2mv0

qL

、方向垂直于紙面向外的矩形磁場區域，并最終從x軸上的N（4L，0）點與x軸正向成45°角離開第一象限，題中只有m、v₀、q、L為已知量，求：
（1）勻強電場的電場強度e；
（2）粒子在第一象限內運動的時間；
（3）如果粒子離開M點后有機會進入的是垂直紙面向里的矩形磁場，磁感應強度大小仍然為B=

2mv0

qL

，粒子運動一段時間后仍然能從x軸上的N點與x軸正向成45°角離開第一象限，則該矩形區域的最小面積S．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子進入勻強電場后做類平拋運動，根據沿電場方向上做勻加速直線運動，垂直于電場方向做勻速直線運動，結合牛頓第二定律和運動學公式求出電場強度的大小．
（2）根據類平拋運動求出粒子在電場中的運動時間，求出帶電粒子在勻強磁場中做圓周運動的半徑，根據幾何關系確定粒子的軌跡以及圓心角，求出在勻強磁場中運動的時間，出磁場做勻速直線運動，求出勻速直線運動的時間，三個時間之和為所求的總時間．
（3）磁感應強度大小仍然為B=

2mv0

qL

，則粒子的軌道半徑不變，矩形區域與軌跡相切，結合幾何關系求出矩形的長和寬，從而求出矩形區域的最小面積S．

解答：解：（1）由帶電粒子在電場中做類平拋運動有L=

1

2

?a

t

2 1

…①
2L=v₀t₁…②
Eq=ma…③
由①②③有E=

m v 2 0

2qL

       t1=

2L

v0

（2）粒子在電場中運動y方向上有v_y=at₁=v₀
v=

2

v0    θ=45°
粒子在磁場中圓周運動有Bqv=m

v2

R

…④
R=

2

2

L
由幾何關系，粒子離開電場后直接進入磁場四分之一圓周之后離開磁場做勻速直線運動，最后運動到N點．
粒子在磁場中運動時間為t2=

π 2 R

v

=

πL

4v0

…⑤
粒子勻速直線運動時間為t3=

2 L

v

…⑥
則t=t₁+t₂+t₃…⑦
由②⑤⑥⑦有：t=

(12+π)L

4v0

（3）粒子運動軌跡如圖所示，
矩形邊長為b=2R，c=R+Rcos45°
S=bc=

2 +2

2

L2
答：（1）勻強電場的電場強度為

m v 2 0

2qL

（2）粒子在第一象限內運動的時間為

(12+π)L

4v0

（3）該矩形區域的最小面積為

2 +2

2

L2

點評：本題考查了帶電粒子在勻強電場中的類平拋運動，在磁場中的勻速圓周運動，對數學的幾何能力要求較高，關鍵畫出粒子的軌跡圖，結合牛頓第二定律以及向心力等知識進行求解．