Question

如圖甲所示，光滑的水平地面上固定一長為L＝1.7 m的長木板C,板的左端有兩個可視為質點的物塊A和B，其間夾有一根長為1.0 m的輕彈簧，彈簧沒有形變，且與物塊不相連。已知m_a=m_c=20 kg,m_b=40 kg，A與木板C、B與木板C的動摩擦因數分別為μ_a=0.50和μ_b=0.25。假設最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等。現用水平力F作用于A，讓F從零開始逐漸增大，并使B緩慢地向右移動0.5 m，使彈簧儲存了彈性勢能E₀ 。

      

甲                                   乙

（1）若彈簧的勁度系數為k＝200 N/m，以作用力F為縱坐標，物塊A移動的距離為橫坐標，試通過定量計算在圖乙的坐標系中畫出推力F隨物塊A位移的變化圖線。

（2）求彈簧儲存的彈性勢能E₀的大小。

（3）當物塊B緩慢地向右移動了0.5 m后，保持A、B兩物塊間距不變，將其間夾有的彈簧更換，使得壓縮量相同的新彈簧儲存的彈性勢能為12E₀，之后同時釋放三物體A、B和C，已被壓縮的輕彈簧將A、B向兩邊彈開，求哪一物塊先被彈出木板C？最終C的速度是多大？

Answer 1

解：（1）A與C間的摩擦力為

f_a=μ_am_ag=0.5×20×10 N=100 N

B與C間的摩擦力為

f_b=μ_bm_bg=0.25×40×10 N=100 N

推力F從零逐漸增大，當增大到100 N時，物塊A開始向右移動壓縮彈簧（此時B仍然保持靜止），設壓縮量為x，則力F=f_a+kx 

當x=0.5 m時，力F=f_a+f_b=200 N,此時B將緩慢地向右移動。

B移動0.5 m后，B距離木板C的右端0.2 m，A離開木板C端0.1 m。

作出力F隨A位移的變化圖線如圖所示。

（2）在物塊B移動前，力F作用于物塊A，壓縮彈簧使彈簧儲存了彈性勢能E₀，物塊A移動了s=0.5 m,此后物塊AB以相同的速度向右移動，彈簧儲存的彈性勢能不變。設物塊A開始移動0.5 m的過程中，力F做功W，由能量守恒有

E₀=W－f_as=×0.5 J－100×0.5 J=25 J。①

（3）撤去力F之后，AB兩物塊給木板C的摩擦力的合力為零，故在物塊AB滑離木板C之前，C仍靜止不動。物塊AB整體所受外力的合力也為零，其動量守恒，可得m_Av_A=m_Bv_B

由題可知，始終有v_A∶v_B=m_B∶m_A=2∶1②

當物塊B在木板C上向右滑動了0.2 m，物塊A則向左滑動了0.4 m，但A離木板C的左端還有d=0.6 m 。可見，物塊B先滑離木板C。

并且兩物體的相對位移Δs=0.4 m+0.2 m=0.6 m＞0.5 m（彈簧的壓縮量），彈簧儲存的彈性勢能已全部釋放，由能量守恒定律有

12E₀=m_av_a²+m_bv_b²+f_a·Δs③

由①②③式求出物塊B滑離木板C時A物塊的速度為v_a=4 m/s④

設此后A滑離木板C時，物體A的速度為v_A′，木板C的速度為v_C′，由動量守恒定律有

m_Av_A=m_Av_A′+m_Cv_C′²）⑤

由能量守恒有

f_A×d=m_Av_A²-(m_A v_A′²+m_C v_C′²）⑥

將d=0.6 m及有關數據代入⑤⑥式解得

v_C′=1 m/s（v_C ′=3 m/s不合題意舍棄）。