Question

資料：理論分析表明，逃逸速度是環繞速度的倍．即，由此可知，天體的質量M越大，半徑R越小，逃逸速度也就越大，也就是說，其表面的物體就越不容易脫離它的束縛．有些恒星，在它一生的最后階段，強大的引力把其中的物質緊緊的壓在一起，密度極大，每立方米的質量可達數噸．它們的質量非常大，半徑又非常小，其逃逸速度非常大．于是，我們自然要想，會不會有這樣的天體，它的質量更大，半徑更小，逃逸速度更大，以m/s的速度傳播的光都不能逃逸？如果宇宙中真的存在這樣的天體，即使它確實在發光，光也不能進入太空，我們根本看不到它．這種天體稱為黑洞(black hole)。1970年，科學家發現了第一個很可能是黑洞的目標．已知m/s，求：
（1）逃逸速度大于真空中光速的天體叫黑洞（black hole)，設某黑洞的質量等于太陽的質量kg，求它的可能最大半徑（這個半徑叫做Schwarzchild半徑）．
（2）在目前天文觀測范圍內，物質的平均密度為，如果認為我們的宇宙是這樣一個均勻大球體，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c，因此任何物體都不能脫離宇宙，問宇宙的半徑至少多大？（球的體積計算方程）

Answer 1

（1）當逃逸速度剛好等于光速時，黑洞的半徑最大，設為R，根據題意得
，得
（2）設逃逸速度為光速c時，宇宙的半徑為，由題意知，宇宙的質量為
由題意，得
解得