Question

（20分，第一小題12分，第2小題8分）

1. 如圖所示，電荷量為 q₁ 的正點電荷固定在坐標原點 O 處，電荷量為 q₂ 的正點電荷固定在 x 軸上，兩電荷相距 l 。已知 q₂＝2q₁。

（ⅰ）求在 x 軸上場強為零的 P 點的坐標。

（ⅱ）若把一電荷量為 q₀ 的點電荷放在 P 點，試討論它的穩定性（只考慮q₀ 被限制在沿 x 軸運動和被限制在沿垂直于 x 軸方向運動這兩種情況）。

2. 有一靜電場，其電勢 U 隨坐標 x 的改變而變化，變化的圖線如圖1所示，試在圖2中畫出該靜電場的場強 E 隨 x 變化的圖線（設場強沿 x 軸正方向時取正值，場強沿 x 軸負方向時取負值）。

Answer 1

參考解答：

1.

　（ⅰ）通過對點電荷場強方向的分析，場強為零的 P 點只可能位于兩點電荷之間。設 P 點的坐標為 x₀，則有

　 　（1）

已知

　 　（2）

由（1）、（2）兩式解得

　 　（3）

　（ⅱ）先考察點電荷 q₀ 被限制在沿 x 軸運動的情況。q₁、q₂ 兩點電荷在 P 點處產生的場強的大小分別為

　 　

且有 　E₁₀＝E₂₀

二者方向相反。點電荷 q₀ 在 P 點受到的合力為零，故 P 點是 q₀ 的平衡位置。在 x 軸上 P 點右側 處，q₁、q₂ 產生的場強的大小分別為

方向沿 x 軸正方向

方向沿 x 軸負方向

由于 ， 處合場強沿 x 軸的負方向，即指向 P 點。在x 軸上 P 點左側 處 q₁、q₂ 的場強的大小分別為

　 　方向沿 x 軸正方向

　 　方向沿 x 軸負方向

由于 ， 處合場強的方向沿 x 軸的正方向，即指向 P 點。

由以上的討論可知，在 x 軸上，在 P 點的兩側，點電荷 q₁ 和q₂ 產生的電場的合場強的方向都指向 P 點，帶正電的點電荷在 P 點附近受到的電場力都指向 P 點，所以當 q₀＞0 時，P 點是 q₀ 的穩定平衡位置。帶負電的點電荷在 P 點附近受到的電場力都背離 P 點，所以當 q₀＜0 時，P 點是 q₀ 的不穩定平衡位置。

再考慮 q₀ 被限制在沿垂直于 x 軸的方向運動的情況。沿垂直于 x 軸的方向，在 P 點兩側附近，點電荷q₁ 和q₂ 產生的電場的合場強沿垂直 x 軸分量的方向都背離 P 點，因而帶正電的點電荷在 P 點附近受到沿垂直 x 軸的的分量的電場力都背離 P 點，所以，當q₀＞0 時，P 點是 q₀ 的不穩定平衡位置。帶負電的點電荷在 P 點附近受到的電場力都指向 P 點，所以當q₀＜0 時，P 點是 q₀ 的穩定平衡位置。

2.