Question

當物體從高空下落時，空氣阻力會隨物體的速度的增大而增大，因此下落一段距離后將以某個速度勻速下落，這個速度稱為物體的下落終極速度．研究發現，在相同環境下，球形物體的終極速度僅與球的半徑和質量有關．下面是某次研究的實驗數據：（g取10m/S²）

小球編號	A	B	C	D	E
小球的半徑（×10-3）	0.5	0.5	1.5	2	2.5
小球的質量（×10-6）	2	5	45	40	100
小球的終極速度（ m/s）	16	40	40	20	32

（1）根據表中的數據，求A球達到終極速度時所受的阻力；
（2）根據表中的數據，歸納出球形物體所受的空氣阻力f與球的速度v及球的半徑r之間的關系，要求寫出表達式及比例系數k的數值．
（3）現將C號小球和D號小球用輕質細線連接，若它們在下落時所受的空氣阻力與單獨下落時的規律相同，讓它們同時從足夠高處下落，求它們的終極速度；并判斷它們落地的順序（不需要寫出判斷理由）．

Answer 1

分析：（1）小球達到收尾速度時，小球做勻速直線運動，阻力與重力二力平衡．由平衡條件得即可求出B球與C球在達到終極速度時所受阻力之比．
（2）由小球A、B、C、E的實驗數據，歸納出小球收尾速度和小球質量、小球半徑的定量關系．
（3）將C號和D號小球用細線連接后，求出它們的收尾速度，判斷下落的先后順序．

解答：解：（1）小球最終勻速下落時受力平衡：f_A=m_Ag=2×10^-5N；      
（2）由表中A、B球的有關數據可得，阻力與速度成正比，即f∝v    
由表中B、C球有關數據可得，阻力與球的半徑的平方成正比，即f∝r²
得　　f=kvr²
將E組數據代入解得   k=4.9Ns/m³                           
（3）將C號和D號小球用細線連接后，其收尾速度應滿足
   m_Cg+m_Dg=f_C+f_D                                  
即　　　　m_Cg+m_Dg=kv（r_C²+r_D²）                               
代入數據得　　v=27.2m/s　                                      
比較C號和D號小球的質量和半徑，可判斷C球先落地．
答：（1）根據表中的數據，求A球達到終極速度時所受的阻力為2×10^-5N．
（2）球型物體所受阻力f與球的速度大小及球的半徑的關系k=4.9Ns/m³．
（3）將C號和D號小球用輕質細線連接，它們的收尾速度為27.2m/s，C球先落地．

點評：從表格數據歸納出收尾速度、質量、半徑的定量關系是本題的關鍵，也是比較困難的．