Question

我國于2007年10月24日成功發射“嫦娥1號”衛星，該衛星可貼近月球表面運動且軌道是圓形的．已知地球的半徑是月球半徑的4倍，地球的質量是月球質量的81倍，地球近地衛星的周期為T₀，地球表面的重力加速度g．
求：（1）“嫦娥1號”衛星繞月球表面做勻速圓周運動的周期．
（2）設想宇航員在月球表面做自由落體實驗，某物體從離月球表面h處自由下落，經多長時間落地？

Answer 1

分析：（1）地球近地衛星受地球的萬有引力提供向心力，探月衛星它受月球的萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律兩次兩式相比，可以求出“嫦娥1號”的運動周期T₁．
（2）根據星球表面的物體受到的重力等于萬有引力，在地球上有：mg=G

Mm

R2

，在月球上有：m1g1=G

M1m1

R 2 1

，兩式相比，計算出月球表面重力加速度g₁．再根據自由落體運動的規律h=

1

2

g1

t

2 1

，可計算出落體運動的時間．

解答：解：（1）設地球的質量為M，半徑為R，近地衛星的質量為m，周期為T₀
由萬有引力提供向心力，有：G

Mm

R2

=m（

2π

T0

）²R
設月球的質量為M₁，半徑為R₁，探月衛星的質量為m₁，周期為T₁
由萬有引力提供向心力，有：G

M1m

R12

=m（

2π

T1

）²R₁
兩式聯立解得：T₁=

R13 R 3   ? M1 M

T0=

( 1 81 )3×4

?T₀≈2.7×10^-3T₀
（2）設地球表面的重力加速度為g，月球表面的重力加速度為g₁
g=

GM

R2

g₁=

GM1

R 2 1

g1=

16

81

g
物體做自由落體運動，故：h=

1

2

g1

t

2 1

，
解得：t₁=

2h g1

=

9

4

2h g

；
答：（1）“嫦娥1號”衛星繞月球表面做勻速圓周運動的周期為2.7×10^-3T₀．
（2）某物體從離月球表面h處自由下落，經

9

4

2h g

長時間落地．

點評：本題要求掌握天體運動中兩個重要的關系；①環繞天體繞中心天體做勻速圓周運動所需要的向心力由萬有引力提供，②星球表面的物體受到的重力等于萬有引力．同時還要知道自由落體運動的規律．