Question

一邊長為L的正方形閉合金屬導線框，其質量為m，回路電阻為R，圖中M、N、P為磁場區域的邊界，且均為水平，上下兩部分磁場的磁感應強度均為B，方向如圖所示，圖示位置線框的底邊與M重合，現讓線框由圖示位置由靜止開始下落，線框在穿過N和P兩界面的過程中均為勻速運動，若已知M、N之間的高度差為h₁,h₁＞L，線框下落過程中線框平面始終保持豎直，底邊始終保持水平，重力加速度為g，求：

(1)N與P之間的高度差h₂；

(2)在整個運動過程中，線框中產生的焦耳熱。

Answer 1

解：（1）在穿過N的過程中

線框中產生的電動勢E=2BLv₁

線框中產生的電流I=E/R=2BLv₁/R

線框受到的安培力F=2BIL=4B²L²v₁/R

由平衡得mg=4B²L²v₁/R

v₁=mgR/4B²L²

同理線框穿過P過程中的運動速度

v₂=mgR/B²L²

由機械能守恒定律得mg(h₂-L)=mv₂²/2-mv₁²/2

得h₂=L+(v₂²-v₁²)/2g

=L+15m²gR²/32B⁴L⁴

(2)穿過M時產生的電熱Q₁=mgh₁-mv₁²/2

=mgh₁-m³g²R²/32B⁴L⁴

穿過N或P時產生的電熱為Q₂=mgL

共產生熱量為Q=Q₁+2Q₂

=2mgL+mgh₁-m³g²R²/32B⁴L⁴。