Question

（17分）如圖所示，一個長L₁＝0.9m、寬L₂＝0.6m的光滑斜面體，其傾角θ＝30°。有一長度L＝0.4m的輕質繩一端固定在距斜面頂點Ａ為L＝0.4m斜面邊緣的Ｏ點上，另一端系一質量m=1kg的小球�，F把小球拉至頂點Ａ處，以v₀＝1m/s的初速度沿斜面頂邊緣水平拋出。（g取10m/s²）

（1）剛開始小球做什么運動？并說明理由。

（2）求小球運動至斜面邊緣Ｂ點時受到繩子的拉力Ｆ_T。

（3）若小球運動至Ｂ點時繩子剛好斷了，求小球從斜面上飛出后落地點與最初拋出點在地面上投影點的距離L₃。

Answer 1

解析：

（1）小球沿斜面向下的加速度a＝=5m/s²　（1分）

其在斜面上運動可等效看作在g′=a＝5m/s²的豎直平面上的曲線運動

由于小球剛拋出的速度v₀＜m/s，故其開始做類平拋運動（2分）

（2）如圖所示，設它運動時間t秒至與水平線的夾角為α時，繩子剛好拉直。由平拋運動公式有：

　�、� 　（1分）

          ②   （1分）

①②聯立并代入數據解得：

＝0°，t＝0.4s   　　　　（2分）

＝0°，說明小球拋至繩子在水平線時剛好拉直。在拉直瞬間，由于繩子不可伸長，故小球水平速度瞬間變為零，只存在沿斜面向下的速度v_y（1分）

v_y＝g′t＝5×0.4m/s=2m/s                       （1分）

以后小球在繩子束縛下沿斜面向下做圓周運動，設至Ｂ點時的速度為v₂。根據類機械能守恒定律，有：

mg′L＋mv_y²＝mv₂²                                              （1分）

代入數據解得：v₂=m/s                            （1分）

根據牛頓第二定律，有：              （1分）

代入數據解得：Ｆ_Ｔ=25Ｎ                             （1分）

（3）繩斷后小球以v_２做平拋運動，由題意知其高度h′=0.05m，設至落地所需時間為t′,

根據   解得：t′＝0.1s                    （1分）

平拋的水平位移x＝v₂ t′＝0.1m                （1分）

而本題斜面有效長度在地面投影長度Ｌ_４＝0.4m       （1分）

所求的距離          （1分）