Question

如圖所示，水平地面上有一輛小車，車上固定一個(gè)豎直光滑絕緣管，管的底部有一質(zhì)量m₁=0.2g、電荷量q=8×10^-5C的帶正電小球，小球的直徑比管的內(nèi)徑略小．在管口所在水平面MN的下方存在著垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁=15T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，MN面的上方還存在著豎直向上、場(chǎng)強(qiáng)E=25V/m的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂=5T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，現(xiàn)讓小車始終保持v_x=2m/s的速度勻速向右運(yùn)動(dòng)，以帶電小球剛經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)的邊界PQ為計(jì)時(shí)的起點(diǎn)，測(cè)得小球在管內(nèi)運(yùn)動(dòng)的這段時(shí)間為t=1s，g取10/s²，不計(jì)空氣阻力． 
（1）求小球進(jìn)入磁場(chǎng)B₁時(shí)的加速度a的大小．
（2）求小球離開管口時(shí)的速度v的大小．
（3）若小球離開管口后，求該小球離開MN平面的最大距離是多少？

Answer 1

分析：（1）小球在水平方向上隨小車做勻速直線運(yùn)動(dòng)，剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，在豎直方向上對(duì)小球受力分析，受到豎直向下的重力和豎直向上的電場(chǎng)力以及洛倫茲力，在豎直方向上利用牛頓第二定律可求出小球的加速度．
（2）在小球剛要離開管口時(shí)，在水平方向上合力為零，在水平方向上受管側(cè)壁的彈力和洛倫茲力（此力是速度在豎直方向上的分量產(chǎn)生的）結(jié)合牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求出絕緣管的長(zhǎng)度．
（3）當(dāng)小球離開管口進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)時(shí)，對(duì)其受力分析，受到重力、電場(chǎng)力和洛倫茲力，經(jīng)計(jì)算可判斷重力和電場(chǎng)力平衡，可知小球會(huì)在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，做出小球的運(yùn)動(dòng)軌跡圖，利用有邊界磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可求出小球和管口在水平方向上的位移之差．

解答：解：（1）小球在管中參與兩個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)，即：水平方向，以v_x向右勻速運(yùn)動(dòng)；
豎直方向，因水平速度而受到豎直向上的洛倫茲力，向上勻加速運(yùn)動(dòng)．
所以小球進(jìn)入磁場(chǎng)B₁時(shí)的加速度a由牛頓第二定律有B₁qv_x-m₁g=m₁a，
代入數(shù)據(jù)得a=

B1qvx

m1

-g=2m/s2
（2）小球在t=1s時(shí)，豎直分速度v_y=at=2m/s，而水平分速度v_x=2m/s
則小球離開管口的速度v=

v 2 x + v 2 y

=2

2

m/s
（3）小球離開管子后，進(jìn)入MN上方的復(fù)合場(chǎng)中，因Eq1=2×10-3N=m1g
所以小球在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)v與MN成θ角
則tanθ=

vy

vx

=1，所以θ=45°
其運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示：

由B2qv=m1

v2

r

，
代入數(shù)據(jù)得：r=

m1v

qB2

=

2

m
當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，速度水平．
設(shè)最高點(diǎn)距MN的距離為h，由圖中幾何關(guān)系得：
h=r-rcos45°=

2

m-1m=0.41m
答：（1）小球進(jìn)入磁場(chǎng)B₁時(shí)的加速度a的大小為2m/s²．
（2）小球離開管口時(shí)的速度v的大小2

2

m/s．
（3）若小球離開管口后，該小球離開MN平面的最大距離是0.41m．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，對(duì)復(fù)合場(chǎng)的理解和運(yùn)動(dòng)過(guò)程的分析是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵．第一問(wèn)中實(shí)際速度斜向右上方；第二位通過(guò)彈力求解出豎直分速度，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解；第三位關(guān)鍵畫出運(yùn)動(dòng)軌跡．