Question

神奇的黑洞是近代引力理論所預言的一種特殊天體,探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統的運動規律.天文學家觀測河外星系大麥哲倫云時,發現了LMCX-3雙星系統,它由可見星A和不可見的暗星B構成,兩星視為質點,不考慮其他天體的影響.A、B圍繞兩者連線上的O點做勻速圓周運動,它們之間的距離保持不變,如下圖所示.引力常量為G,由觀測能夠得到可見星A的速率v和運行周期T.

(1)可見星A所受暗星B的引力F_A可等效為位于O點處質量為m′的星體(視為質點)對它的引力,設A和B的質量分別為m₁、m₂,試求m′(用m₁、m₂表示)；

(2)求暗星B的質量m₂與可見星A的速率v、運行周期T和質量m₁之間的關系式;

(3)恒星演化到末期,如果其質量大于太陽質量m_s的2倍,它將有可能成為黑洞.若可見星A的速率v=2.7×10⁵ m/s,運行周期T=4.7π×10⁴ s,質量m₁=6m_s,試通過估算來判斷暗星B有可能是黑洞嗎?

(G=6.67×10^-11 N·m²/kg²,m_s=2.0×10³⁰ kg)

Answer 1

解析：(1)設A、B圓軌道半徑分別為r₁、r₂，由題意知，A、B做勻速圓周運動的角速度相同，設其為ω.由牛頓運動定律，有

    F_A=m₁ω²r₁  F_B=m₂ω²r₂  F_A=F_B

    設A、B之間的距離為r,又r=r₁+r₂，由上述各式得:            ①

    由萬有引力定律，有

   

    將①代入得

   

    令

    比較可得

                                              ②

(2)由牛頓第二定律，有

                                            ③

    又可見星A的軌道半徑

                                                   ④

    由②③④式解得

                                        ⑤

(3)將m₁=6m_s代入⑤式，得

   

    代入數據得

                                     ⑥

    設m₂=nm_s(n＞0),將其代入⑥式，得

                        ⑦

    可見，的值隨n的增大而增大.

    試令n=2,得

    =0.125m_s＜3.5m_s                           ⑧

    若使⑦式成立，則n必大于2，即暗星B的質量m₂必大于2m_s,由此得出結論：暗星B有可能是黑洞.

答案：(1)  (2)

(3)暗星B有可能是黑洞