Question

在豎直面內有一光滑水平直軌道和一光滑半圓形軌道，二者在半圓的-個端點B相切，如圖所示，半圓形軌道的另一端點為C，半徑為R在直軌道上距離B為S的A點，有一可看作質點的質量為m的小球處于靜止狀態．現用水平恒力將小球推至B處后撤去恒力，小球沿半圓軌道運動到C處后又正好落到水平面上出發點A處．
（1）求小球在C處的速度大小V_C和推力對小球所做的功W_F
（2）當S和R滿足什么關系時，水平恒力做功最小并求出功的最小值．

Answer 1

分析：（1）分析小球運動的過程，可發現小球由A到B做勻加速直線運動，B到C做圓周運動，從C點開始做平拋運動；由平拋運動的規律可求得C點的速度，對小球從A到C過程，運用動能定理可求得推力所做的功；
（2）水平恒力做功越小，小球到達C點的速度越小，當W_F有最小值時，小球應恰能到達C處，此時由重力提供小球的向心力，即可由牛頓第二求出C點的速度，由上題得到S與R的關系，并求出最小的功．

解答：解：（1）設小球從C到A的飛行時間為t，在C處的速度為V_C，由平拋運動的規律，得
  在水平方向上：s=v_Ct
  在豎直方向上：y=2R=

1

2

gt2
聯立解得：vC2=

gs2

4R

，
則小球在C處的速度大小v_C=

s

2

g  R

對小球從A到C過程，由動能定理得：WF-mg?2R=

1

2

mvC2-0
解得：WF=mg?2R+

1

2

mvC2=mg(2R+

S2

8R

)
（2）當W_F有最小值時，小球應恰能到達C處，此時由重力提供小球的向心力，則 
在C點：mg=m

vC2

R

又vC2=

gs2

4R

仍成立
解得：S=2R
最小功為W_min=mg（2R+

S2

8R

）=mg[2R+

(2R)2

8R

]=2.5mgR     
答：
（1）小球在C處的速度大小V_C是

g R

，推力對小球所做的功W_F為mg(2R+

S2

8R

)．
（2）當S和R滿足S=2R時，水平恒力做功最小值為2.5mgR．

點評：本題綜合考查了平拋運動、動能定理、向心力公式的應用，關鍵要認真分析物體的運動過程，將其分解為我們常見的物理學模型，如平拋、自由落體、圓周運動等，即可利用常見公式進行解答．